Векторная алгебра.

15 вопрос.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор  , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Здесь  ,   и   - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей  ,   и  соответственно.

Основное свойство направляющих косинусов: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Если известны направляющие косинусы вектора  , то его координаты могут быть найдены по формулам:

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

16 Вопрос. Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости

Если известны две точки плоскости  , то координаты точки  , которая делит отрезок   в отношении  , выражаются формулами:

Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве

Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.

Если известны две точки пространства  , то координаты точки  , которая делит отрезок   в отношении  , выражаются формулами:

Если точка М является серединой отрезка  , то ее координаты определяются по формулам

,  .

17 Вопрос.

Полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О называемой полюсом, а лучом l – полярной осью.

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол  называется полярным углом.

Числа r и  называются полярными координатами точки М, пишут М(r; ), при этом r называется полярным радиусом,  - полярным углом.

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:

x = rcos; y = rsin; x² + y² = r²

П

r =

олярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

. Определяя величину , следует установить четверть, в которой лежит искомый угол, и учесть, что .

18 Вопрос.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

 =   cos

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

 = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: ;

Физический смысл скалярного произведения: Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.