26)Применение линейной алгебры в экономике.Модель затраты-выпуск.Основные задачи
Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.
Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Он представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав выпуска, по строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.
В качестве примера на экономической почве рассмотрим задачу:
Пусть экономика страны насчитывает n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идёт на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы
материального производства) личного и общественного потребления.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введём следующие обозначения: xi общий (валовый) объём продукции i-й отрасли; aij коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли;
yi объём конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления. Так как валовой объём продукции i-й отрасли равен суммарному объёму её
продукции, потребляемой всеми отраслями, и конечного продукта, то
xi= +yi, (i=1,2,...,n)
Это уравнение называется соотношениями баланса и задают модель многоотраслевой экономики.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого валового объёма продукции для каждой из отраслей, который при известных прямых затратах обеспечивает заданный конечный продукт. Для её решения достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений.
Расход сырья
Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:
Вид
сырья
Вид
изделия.
Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед.
Составим вектор-план выпуска продукции:
=(60,
50, 35, 40).
Тогда
решение задачи дается вектором затрат,
координаты которого и являются величинами
затрат сырья по каждому его виду: этот
вектор затрат вычисляется как произведение
вектора
на
матрицу А:
.
Еще пример :
Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид
.
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:
.
Решение.
Необходимо найти собственный
вектор
,
отвечающий собственному
значению
=1
заданной структурной матрицы А,
т.е. решить уравнение, которое в нашем
случае имеет вид
.
Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора :
.
Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, определим величину с:
с=1210.
Откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле:
.
27.Применение линейной алгебры в экономике .модель межотраслевого баланса.Продуктивная матрица.
Межотраслевой баланс (метод «Затраты-выпуск») в международной трактовке — это разновидность балансовых построений, характеризующих межотраслевые связи, пропорции и структуру общественного производства. Он интегрируется в системуHYPERLINK "http://www.grandars.ru/student/statistika/sistema-nacionalnyh-schetov.html" HYPERLINK "http://www.grandars.ru/student/statistika/sistema-nacionalnyh-schetov.html"национальныхHYPERLINK "http://www.grandars.ru/student/statistika/sistema-nacionalnyh-schetov.html" HYPERLINK "http://www.grandars.ru/student/statistika/sistema-nacionalnyh-schetov.html"счетов, конкретизирует основные счета СНС и позволяет отразить эффективность общественного производства, ценообразование, влияние факторов экономического роста и обеспечить прогнозирование процессов в экономике.
К основным задачам межотраслевого баланса относятся:
характеристика воспроизводственных процессов в экономике по материально-вещественному составу в детальном отраслевом разрезе;
отражение процесса производства и распределения продукции, созданной в сфере материального производства и услуг;
детализация счетов товаров и услуг, производства, образования доходов и операций с капиталом на уровне отраслевых групп продуктов и услуг;
выявление роли факторов производства и их эффективное использование для экономического развития.
Система таблиц «Затраты-выпуск» выполняет две функции: статистическую и аналитическую.
Статистическая функция заключается в том, что система обеспечивает проверку согласованности экономической информации (предприятий, ДХ, бюджетов, таможенных платежей), характеризующей потоки товаров и услуг.
Аналитическая функция системы выражается в возможностях ее использования для анализа состояния, динамики, прогнозирования процессов и моделирования сценариев развития экономики в результате изменения различных факторов. Именно через симметричную модель системы «Затраты-выпуск» В. Леонтьев разработал методы анализа взаимосвязей первичных затрат и выпуска продукции в отдельных отраслях и конечного спроса на них. В основе данного анализа лежит предположение, что затраты на производство продукции в течение определенного периода времени являются постоянной величиной.
Критерии продуктивности матрицы А Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. 1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. 2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий: 3. Определитель матрицы (E - A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)-1. 4. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения |λE - A| = 0 строго меньше единицы. 5. Все главные миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.