1) Определители 2торого и третьего порядка:

определитель матрицы второго порядка

определитель матрицы третьего порядка.

Эту формулу можно легко запомнить с помощью правила треугольников, которое иллюстрируется представленными ниже рисунками.

2)А)Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными

решается с помощью формул Крамера:

где :

При решении системы возможны три случая:

1. Определитель системы не равен нулю . Тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

2. Определитель системы равен нулю . Если при этом хотя бы один из определителей и не равен нулю, то система не имеет решений.

3. Если , все равно нулю и , то одно из уравнений есть следствие другого, система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Система из трех уравнений с тремя неизвестными

При решении системы из трех уравнений с тремя неизвестными возможны три случая:

1. Определитель системы не равен нулю. Система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера :

2. Определитель системы равен нулю. Если при этом хотя бы один из определителей , не равен нулю, то система несовместна, решений не имеет.

3. Если определитель системы и все остальные определители равны нулю , то система имеет бесчисленное множество решений.

3) Определитель n порядка и свойства определителей.

Определение. Определителем (детерминантом) n – го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы n – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

Обозначение:

Свойства определителей.

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же.

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.