Равновесие в модели Раднера (экономика с последовательной торговлей)

Будем рассматривать два периода времени: t=0, когда нет информации о том, какое состояние реализуется, и t=1, когда ясно, какое состояние реализовалось. Будем считать, что в период t=0 ничего не потребляется.

Пусть в период t=0 существуют все контингентные рынки хотя бы для одного физического товара, а затем в период t=1 открываются спот-рынки по всем товарам. В такое экономике смысл последующей торговли очевиден, поскольку в ней нет полной системы рынков в период t=0, а потому торговля в нулевом периоде вряд ли исчерпывает все возможности для последующего взаимовыгодного обмена.

Для того, чтобы принимать решения в момент t=0, потребителю нужно иметь некие ожидания относительно того, какие же цены сложатся на спот-рынках в момент t=1. Обозначим ожидаемые цены спот-рынков через

p=(p_{11, ….} p_NS) €R^{NS .} Заметим, что предполагаются одинаковые ожидания всех потребителей. Будем считать, что в период t=0 существуют контингентные блага по всем состояниям для первого физического блага, и обозначим соответствующие форвардные цены через q=(q _{1, …}q _s) € R^S. Кроме того предположим, что в период t=0 у потребителей нет никакого богатства, и потому каждый потребитель, если решать торговать на форвардных рынках, то заключает как минимум два контракта: один на покупку, другой – на продажу. Это условие не является существенным: например, можно рассмотреть модифицированную модель, где каждый потребитель k изначально обладает неким набором форвардных контрактов, где в роли таких контрактов выступает вектор первоначальных запасов ω^k .

Каждый потребитель k выбирает объем сделок по каждому из S контингентных благ в период t=0. Обозначим соответствующий вектор покупок-продаж через z^k€R^s. Он также выбирает потребительский набор, а тем самым определяет покупки-продажи на спот-рынках в период t=1. Полученный в результате всех этих сделок потребительский набор обозначим через x^k € R^NS

Если придерживаться исходного предположения об отсутствии богатства в момент t=0, то сделки, заключаемые на форвардных рынках, должны удовлетворять условию

…………………….

Помимо сделок на форвардных рынках, индивид в любом состоянии s€ S выбирает свой потребительский набор, стоимость которого не должна превосходить его совокупного дохода в этом состоянии. Доход потребителя в состоянии s включает стоимость запаса и стоимость блага, которое потребитель купил (продал) в момент t=0.

Если z^k ≥0, то он купил благо, и его стоимость добавляется к богатству потребителя в состоянии s, а в противном случае , если z^k ≤0, - вычитается.

В результате бюджетное ограничение имеет вид

Заметим, что не вводим никаких экзогенных ограничений на объемы форвардных контрактов. Например, возможна ситуация, когда z^k ≤ - ω^{k ,} то есть агент может продать блага больше, чем он будет иметь в состоянии s и , следовательно, если состояние s наступит, ему придется купить на спот- рынке недостающее количество первого товара, чтобы выполнить свои обязательства. Тем не менее возможность таких «кротких позиций» ограничена тем, что потребление x^k _is должно быть неотрицательным в любом состоянии s, а , следовательно, и богатство должно быть неотрицательным.

Что накладывает определенные ограничения на z^k _s.

Считается, что потребители имеют рациональные ожидания, то есть ожидают именно те цены, которые уравновесят спот рынки после разрешения неопределенности.

Набор контингентных благ и цен спот рынков , а также набор форвардных контрактов, выбираемых в период t=0 и потребительские наборы , образуют равновесие Раднера, если

1. Для любого потребителя

……………………… решение задачи потребителя при ценах q и p;

2. Уравновешены все форвардные рынки и все спот рынки.

Заметим, что ограничения задачи потребителя не изменятся, если цены физических товаров в любом состоянии изменяются пропорционально. Таким образом, мы можем пронормировать цены, положив для любого состояния s цену одного из физических товаров равной единице. Пусть это будет первый товар: p_1s=1 для всех s=1, … S . Аналогично есть возможность пронормировать форвардные цены, положив , к примеру, q₁=1 (или считая, что ∑q_s=1).

Равновесные распределения в модели Эрроу-Дебре совпадают с множеством равновесных распределений в модели Раднера.

Соотношение равновесия Эрроу-Дебре и равновесия Раднера.

1. Если распределение x и ветор цен контингентных товаров p образуют равновесие ЭрроуДебре, то существуют цены q€ R^S для набора контингентных благ, соответствующего первому физическому товару, и форвардные контракты z€ R^SМ такие, что совокупность (q, p, z, x) образует равновесие Раднера в модели с последовательной торговлей.

2. Если совокупность (q, p, z, x) образует равновесие Раднера в модели с последовательной торговлей, то существуют положительные множители (µ_1,… µ_s) € R^S такие, что распределение x и вектор цен

(µ₁p₁, ….µ_sµ_s) € R^NS являются равновесием Эрроу-Дебре.

Множители µ_s можно проинтерпретировать как оценку в момент t=0 получения 1 руб. в момент t=1 при реализации состояния s.

Доказательство:

1. Любой набор из бюджетного множества k-го потребителя в модели Эрроу-Дебре будет содержаться и в бюджетном множестве в модели Раднера.

Бюджетные множества двух моделей в отношении потребительских наборов совпадают, эти задачи будут порождать одинаковые функции спроса, при уравновешенности спот-рынков в модели Раднера будут уравновешены все форвардные рынки в модели Эрроу-Дебре и наоборот.

2. Выполняются балансы на форвардных рынках для первого товара в модели Раднера.

Таким образом, можно перейти от модели Эрроу-Дебре, где требуется наличие форвардных рынков по всем контингентным благам, к модели Раднера, где требуется наличие форвардных рынков хотя бы по одному физическому товару. Однако такое значительное снижение числа форвардных рынков в модели Раднера возможно благодаря предпосылке о рациональных ожиданиях относительно цен на спот-рынках.

Итак, если в период t=0 открываются все S форвардные рынки по одному из физических товаров (который можно рассматривать как физический актив), то равновесие раднера будет являться и равновесием Эрроу-Дебре, а значит, результирующее распределение будет Парето-оптимальным.

Если же откроются не все форвардные рынки, то подобная эквивалентность не будет иметь место и распределение в равновесии Раднера может оказаться неэффективным. В действительности предпосылка о существовании полной системы форвардных рынков даже по одному товару является малореалистичной. Зачастую агенты сталкиваются с тем, что одна из сторон в силу асимметричности информации не может убедиться в наступлении некоторого стояния мира. В итоге это приводит к отсутствию рынка по соответствующему контингентному благу, и в результате система в целом может оказаться не в состоянии достичь эффективного распределения ресурсов.