Выбор в условиях неопределенности в терминах обусловленных товаров и полезность, зависящая от состояния.

Построим модель, позволяющую представить выбор в условиях неопределенности с помощью понятий, используемых в теории выбора при определенности. Для этого необходимо модифицировать понятие товара, введя концепцию обусловленного (контингентного) блага.

Пусть возможно S состояний мира, определяемых экзогенными факторами. Будем нумировать эти состояния с помощью индекса s=1,…..S.

Назовем контингентным благом право (контракт) на получение i–го физического блага в количестве x _is в случае реализации состояния мира S.

Для простоты рассматриют экономику, где только один физический товар – деньги, который трактуется как агрегированное физическое благо. Первоначальные запасы также могут зависеть от состояния мира и потому представляют собой набор контингентных благ.

Предпочтения потребителей также могут зависеть от состояния мира (например, удовольствие от отдыха на природе может зависеть от погоды). Будем считать, что предпочтения, определенные на множестве контингентных благ, представимы с помощью обобщенной функции ожидаемой полезности, где функция Бернулли зависит от состояния мира.

Сравнительная статика инвестиционного поведения: инструменты анализа

Для формирования оптимального портфеля инвестора следует научиться прогнозировать изменение оптимального портфеля инвестора при изменении характеристик входящих в него активов и при изменении его богатства. Интересно, как соотносятся оптимальные портфели для агентов с разными предпочтениями.

Сравнение отношения к риску для разных индивидов и для разных уровней богатства. Если обратиться к группе агентов, несклонных к риску, то внутри этой группы предпочтения агентов не обязательно будут совпадать. Некоторые будут относиться к риску более лояльно (их предпочтения ближе к нейтральности по отношению к риску), а другие окажутся более нетерпимыми к риску.

Как измерить отношение к риску, степень несклонности к риску? Несклонный к риску экономический агент имеет вогнутую функцию полезности, а нейтральный к риску – линейную. Чем более вогнута функция полезности (то есть чем дальше она от линейности), тем выше степень несклонности к риску. Но если в качестве меры несколлности к риску использовать только -и¹¹(.) (знак минус поставлен для того, чтобы получить положительную величину), то возникает проблема неустойчивости по линейным преобразованиям: эта величина для агента с одним и тем же отношением к риску будет принимать разные значения в зависимости от выбора функции полезности, представляющей эти предпочтения. Поэтому, чтобы мера несклонности к риску была устойчива к линейным преобразованиям, мы ее пронормируем, поделив на и¹(х).

Коэффициентом абсолютной несклонности к риску Эрроу-Пратта называется отношение

R^A(x)=- -и¹¹(x): и¹(х).

Концепция абсолютной несклонности к риску иногда дополняется другой близкой концепцией относительной склонности к риску.

Коэффициент относительной несклонности к риску называется

R^R (x)= - и¹¹(x): и¹(х).x.

Мы можем сравнивать отношение к риску, сопоставляя значения коэффициентов Эрроу - Пратта. Однако возможны и альтернативные подходы. В основе построения коэффициента Эрроу - Пратта лежала идея о степени вогнутости элементарной функции полезности. Можно сравнивать, является ли одна функция полезности более вогнутой, чем другая (т.е. оказывается ее вогнутой трансформацией). Для сравнения отношения к риску можно использовать концепцию премии за риск (эта концепция представляет разницу между богатством индивида и денежным эквивалентом лотереи).

Теорема Эрроу – Пратта. Анализ сравнительной статики выбора, в условиях неопределенности в том числе, Эрроу - Пратта рассматривает как изменяется спрос экономических агентов на проекты, связанные с риском, при увеличении богатства. Ответ на этом вопрос будет зависеть от того, насколько как с ростом богатства изменяется отношение к риску. Теоретически представляются возможными следующие ситуации: несклонность к риску не зависят от богатства, несклонность к риску возрастает с увеличением богатства, ситуация, когда несклонность к риску убывает с ростом богатства.

Эмпирические наблюдения показывают, что с ростом богатства люди готовы брать на себя больше риска. Подобное повеление можно объяснить через соответствующее свойство коэффициента абсолютной несклонности к риску Эрроу-Пратта. Индивиды, обладающие этим свойством, будут брать на себя больше риска по мере увеличения их богатства, будут инвестировать все большую сумму денег в рисковые актив, в ситуации, когда портфель формируется лишь из двух активов.