3.2. Критерий устойчивости Гурвица

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

. (76)

По Гурвицу для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица, составленный из коэффициентов характеристического уравнения (76), а также все диагональные миноры этого определителя были положительны, при этом также должен быть положительным а₀. Для составления определителя Гурвица необходимо руководствоваться следующим.

1. Выписывают по главной диагонали все коэффициенты уравнения (76), начиная от a₁ до а_п в порядке возрастания индексами.

2. Дополняют все столбцы определителя от диагонали вверх коэффициентами с возрастающими, вниз — с убывающими индексами.

3. На место коэффициентов, индексы которых больше п и меньше 0, ставят нули.

Для уравнения (76) определитель будет иметь вид:

(77)

Для уравнения 3-го порядка условие устойчивости по Гурвицу будет:

. (78)

3.3. Критерий устойчивости Михайлова

Рассмотрим характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению замкнутой системы регулирования

. (79)

и запишем его в комплексной форме, для чего вместо р подставим мнимое число i. Тогда уравнение (79) преобразуется в следующее:

. (80)

Отделив в уравнении (80) вещественную часть от мнимой, можно представить его в следующем виде:

. (81)

Изменяя значение  от 0 до ∞, построим на комплексной плоскости р(), Q() вектор или годограф L(i).

Условие устойчивости для замкнутой системы по Михайлову формулируется следующим образом: система автоматического регулирования будет устойчивой, если при изменении  от 0 до ∞ вектор L(i), начав движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси плоскости, вращаясь против часовой стрелки, нигде не обращаясь в нуль, обходит последовательно п квадрантов (т. е. I, II, III, IV, I, II и т. д.), где п — степень характеристического уравнения.

Рис. 42. Годографы Михайлова:

а —устойчивые системы; б, в — неустойчивые системы

Примерные годографы Михайлова для устойчивых систем разного порядка показаны на рис. 42,а, а неустойчивых — на рис. 42, б и в.

3.4. Качество регулирования

Характеристикой качества процесса регулирования являются следующие показатели:

• статическая ошибка — отклонение регулируемой величины от заданного значения в установившемся режиме, т. е. по окончании переходного процесса;

• динамическая ошибка, под которой понимают максимальное отклонение регулируемой величины в течение переходного процесса от значения для установившегося режима;

• быстродействие системы, под которым понимают продолжительность переходного процесса;

• колебательность процесса. При наличии двух и более перерегулирований процесс считают колебательным.

а)

Рис. 43. К определению качества переходных процессов:

а — апериодические процессы; б — колебательные процессы

Качество переходного процесса можно оценить по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, по частотным характеристикам, а также с помощью интегральных критериев. На рис. 43, а, б изображены два графика переходных процессов. Переходный процесс будет тем лучше, чем меньше будет заштрихованная площадь, охваченная новым значением регулируемой величины и кривой переходного процесса. Эта площадь может быть определена как

, (82)

где — новое установившееся значение регулируемой величины;

— текущее значение ее.

Этот интегральный критерий пригоден только для неколебательного переходного процесса. Для колебательных переходных процессов применяют другой критерий, в который отклонение регулируемой величины входит в квадрате и поэтому всегда будет положительной величиной:

, (83)

Этот критерий пригоден для оценки качества как колебательных, так и неколебательных процессов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем необходимо руководствоваться для составления определителя Гурвица.

2. Каковы условия устойчивости для замкнутой системы по Михайлову?

3. Какие показатели являются характерными для качества процесса регулирования?

Литература [1, 5, 6].