8. Системы счисления. Кодирование. Избыточность и помехозащищенность кодов.

Система счисления – это способ записи чисел.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Кодирование информации можно определить, как перевод информации, представленной сообщением в первичном алфавите, в последовательность кодов. Любая информация (числовая, текстовая, графическая, звуковая и др.) в памяти компьютера представляется в виде чисел в двоичной системе счисления. По сути, кодирование — это добавление к исходной информации дополнительной, проверочной, информации. Для кодирования на передающей стороне используются кодер, а на принимающей стороне — используют декодер для получения исходного сообщения.

Высокие требования к достоверности передачи, обработки и хранения информации в вычислительных системах и сетях, региональных автоматизированных системах управления, системах автоматизации научных исследований диктовали необходимость такого кодирования информации, которое обеспечивало бы возможность обнаружения и исправления ошибок.

В этом случае кодирование должно осуществляться так, чтобы сигнал, соответствующий принятой последовательности символов, после воздействия на него предполагаемой в канале помехи оставался ближе к сигналу, соответствующему конкретной переданной последовательности символов, чем к сигналам, соответствующим другим возможным последовательностям. (Степень близости обычно определяется по числу разрядов, в которых последовательности отличаются друг от друга.)

Это достигается ценой введения при кодировании избыточности, которая позволяет так выбрать передаваемые последовательности символов, чтобы они удовлетворяли дополнительным условиям, проверка которых на приемной стороне дает возможность обнаружить и исправить ошибки.

Коды, обладающие таким свойством, называют помехоустойчивыми. Они используются как для исправления ошибок (корректирующие коды), так и для их обнаружения.

Избыточность кода — это количество проверочной информации в сообщении. Рассчитывается она по формуле: k/(i+k) где k — количество проверочных бит, i — количество информационных бит. Например, мы передаем 3 бита и к ним добавляем 1 проверочный бит — избыточность составит 1/(3+1) = 1/4 (25%).

Помехозащищенными, или корректирующими, кодами называются коды, позволяющие обнаружить или обнаружить и исправить ошибки в кодовых комбинациях. Отсюда и деление этих кодов на две группы: коды с обнаружением ошибок и коды с обнаружением и исправлением ошибок.

9. Логика высказываний. Правила преобразования высказываний.

Логика высказываний - раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний. Пока достаточно того что высказывание может быть простым или сложным, истинным или ложным. Высказывания могут связываться при помощи конъюнкции( "И") и дизъюнкции ("ИЛИ"). Результатом высказывания может быть либо ИСТИНА (1) либо ЛОЖЬ (0).

Например, высказывание "Луна - спутник Земли" является простым и истинным.

Высказывание "Луна спутник Земли и Солнце спутник Земли" будет сложным, так как состоит из двух простых частей, и ложным, так как Солнце не спутник Земли.

Высказывание "Луна спутник Земли или Солнце спутник Земли" будет опять же сложным, но в этот раз оно будет ещё и истинным, так как здесь связь осуществлена при помощи "ИЛИ", то есть достаточно того чтобы было верно хотя бы одна из частей высказывания.

Правила преобразования высказываний: Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание): А = ¬(¬A).

Переместительный (коммутативный) закон: для логического сложения: А V B = B V A; для логического умножения: A & B = B & A. Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

Сочетательный (ассоциативный) закон: для логического сложения: (А V B) V C = A V (B V C); для логического умножения: (A & B) & C = A & (B & C). При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

Распределительный (дистрибутивный) закон: для логического сложения: (А V B) & C = (A & C) V (B & C); для логического умножения: (A & B) V C = (A V C) & (B V C). Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

Закон общей инверсии (законы де Моргана): для логического сложения: ¬(A V B) = ¬A & ¬B; для логического умножения: ¬(A & B) = ¬A V ¬B

Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens — сильный; дословно — равносильный): для логического сложения: А V A = A; для логического умножения: A & A = A . Закон означает отсутствие показателей степени.

Законы исключения констант: для логического сложения: А V 1 = 1, А V 0 = A; для логического умножения: A & 1 = A, A & 0 = 0.

Закон противоречия: A & ¬A = 0. Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

Закон исключения третьего: A V ¬A = 1. Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

Закон поглощения: для логического сложения: А Ú (A & B) = A; для логического умножения: A & (A Ú B) = A.