7. Линейные разделяющие функции для n классов. 2-ой случай разделения

Каждый класс отделяется от любого другого класса «индивидуальной» разделяющей поверхностью, т.е. классы попарно разделимы. В этом случае существует М(М-1)/2 (число сочетаний из М классов по два) разделяющих поверхностей. Решающие функции имеют вид

и обладают тем свойством, что если образ х принадлежит классу то для всех ; кроме того,

О чевидно, что ни один класс нельзя отделить от всех остальных с помощью единственной разделяющей поверхности. Каждая из приведенных на рис. границ обеспечивает разделение 2-ух классов. Так, например, хотя граница проходит через класс w3 , она дает эффективное разделение только для классов w1 и w2.

Пусть решающие функции имеют следующий вид: ;

;

;

Разделяющие границы получим, приравнивая решающие функции нулю. Здесь области решений могут содержать несколько зон, где соответствующие функции положительны. Область, относящаяся к классу w1, определяется значениями образа х, при которых и Значение решающей функции в этой области не существенно, поскольку данная решающая функция никак не связана с классом w1.

Области, определяемые тремя указанными решающими функциями, представлены на рис ниже. Для выделения областей, соответствующих разным классам, использовано условие Поэтому поскольку , ; то зона положительности функции совпадает с зоной отрицательности функции области решения безграничны и существуют области неопределенности, в которых условия случая 2 не выполняются.

Рассмотрим классификацию объекта, заданного вектором х=(4, 3). Подстановка его признаков в выбранные решающие функции дает следующее:

; ; =>

; ;

Поскольку для j=1, 2 и значения функций не попадают в область неопределенности, то рассматриваемый образ зачисляется в класс w3 .

8. Л инейные разделяющие функции для N классов. 3-й случай разделения Существует М решающих функций таких, что если образ х принадлежит классу то для всех j≠i. Эта ситуация является разновидностью случая 2, т.к. можно положить Очевидно, что если для всех j ≠ I, т.е. если классы разделимы, как в случае 3, то они автоматически разделимы и как в случае 2. Граница между классами и определяется теми значениями вектора х, при которых имеет место равенство . Поэтому при выводе уравнения разделяющей границы для классов и значения решающих функций используются совместно. Для образов, принадлежащих классу w1 должны выполняться условия В общем случае требуется, чтобы входящие в класс образы располагались в положительных зонах поверхностей Положительная зона границы совпадает с отрицательной зоной границы Пример: Пусть в качестве решающих функций выбраны следующие: ;

; ; Разделяющие границы для трех классов выглядят при этом так: ; ; Для того чтобы определить область решений, соответствующую классу w1 необходимо выделить область, в которой выполняются неравенства , . Эта область совпадает с положительными зонами для прямых и . Область принятия решения о принадлежности образа классу w2 совпадает с положительными зонами для прямых и . Область, класса w3 определяется положительными зонами для прямых и . В случае 3 (преимущество случая) области неопределенности как таковые отсутствуют, за исключением самих разделяющих границ.

В качестве примера классификации рассмотрим обработку образа х=(1,1). Подстановка признаков образа в выбранные решающие функции дает следующие значения: ;

; ;

Поскольку , образ относится к классу w2 Если какой-либо из рассмотренных вариантов линейной решающей функции обеспечивает классификацию в некоторой заданной ситуации, то соответствующие классы называются линейно разделимыми. Основная проблема, возникающая после определения набора решающих функций, заключается в отыскании коэффициентов. Для их определения обычно используется обучающая выборка образов. После того как коэффициенты всех решающих функций определены, можно приступать к построению системы распознавания.