III семестр

Электростатика

Заряд – это физическая величина, являющаяся источником электрического поля.

Заряды бывают двух типов: «+» и «–». Количество зарядов того и другого типа во Вселенной, скорее всего, одинаково.

Закон сохранения заряда: в замкнутой системе количество заряда сохраняется.

Электрический заряд – релятивистски инвариантная величина. Заряд дискретен. Минимальное количество заряда Кл. Кл=А/с.

Закон Кулона: Сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов прямо пропорциональна величине этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: . Здесь , где Ф/м. В случае нескольких тел .

Для обнаружения электрического поля необходимо внести в него пробный заряд.

Напряжённость электрического поля ( – пробный заряд ). В случае нескольких зарядов – принцип суперпозиции (напряжённость электростатического поля, создаваемого системой из N зарядов, равняется векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

. В случае непрерывного распределения заряда .

Силовые линии – это линии, проведённые таким образом, чтобы касательная к этим линиям в любой точке пространства совпадала с вектором напряжённости.

В случае положительного заряда линии поля выходят из заряда, в случае отрицательного – входят в заряд. Силовая линия не может быть замкнутой и должна начинаться на положительном заряде или в бесконечности и кончаться на отрицательном или в бесконечности, причём она не может начинаться и кончаться в бесконечности.

Область пространства, каждой точке которого сопоставлен вектор, называется векторным полем (скаляр – скалярным полем).

Пусть какой-то заряд в электрическом поле, создаваемом зарядом q перешёл из точки 1 в точку 2:

Р абота, которая при этом совершится не зависит от траектории: , , где – единичный вектор, – пробный заряд. . . В то же время ( – потенциальная энергия). Тогда . Обычно const определяют таким образом, чтобы при , т.е. и .

Потенциал . Численно потенциал равен работе, которую совершают силы электростатического поля при переносе положительного электрического заряда из одной точки поля на бесконечность: , где – потенциал i-й точки в поле заряда q. .

В случае нескольких зарядов . Тогда и .

Потенциал измеряется в вольтах. Вольт – это потенциал такой точки поля, для перенесения в которую заряда в 1 Кл требуется совершить работу в 1 Дж.

Так как и , то и .

и в то же время , значит, .

Поверхности в поле, для которых называются эквипотенциальными.

Так как при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности , то .

Теорема Гаусса

Часть пространства, ограниченная конической поверхностью, опирающейся на замкнутую кривую называется телесным углом. Величиной телесного угла с вершиной в точке O называется отношение площади, вырезаемой этим углом на поверхности сферы к квадрату радиуса: . Телесный угол измеряется в стерадианах. Телесный угол полной сферы – стерадиан.

П усть есть векторное поле произвольного . В этом векторном поле выберем площадку . Восстановим к ней нормаль и выберем одну из них как положительную.

Т огда величина – поток вектора через . . В случае поверхности . Найдём поток через . Телесный угол . В случае замкнутой поверхности, окружающей заряд, . Если заряд вне поверхности, то , т.к. в половине площади поверхности нормаль направлена к заряду, и в половине – от заряда.

Таким образом, . Т.к. в случае нескольких зарядов , то .

Теорема Гаусса: В произвольном электростатическом поле в вакууме поток через произвольную замкнутую поверхность равен суммарному заряду, находящемуся в этой поверхности, делённому на .

Теорему Гаусса удобно применять, когда известно направление в каждой точке пространства, и когда оно обладает определённой симметрией, которая позволяет нам выбрать такую поверхность интегрирования, в каждой точке которой E постоянно и направление составляет один и тот же угол с направлением нормали к поверхности.

Четыре типовые задачи, в которых удобно применять теорему Гаусса для нахождения напряжённости электрического поля на расстоянии x от объекта:

1. Бесконечная равномерно заряженная плоскость с плотностью заряда .

.

2. Бесконечный равномерно заряженный цилиндр с плотностью заряда .

.

3. Сфера зарядом q и радиусом R.

Если , то . Если же , то , следовательно, поле снаружи сферы совпадает с полем точечного заряда той же величины.

4. Шар зарядом q и радиусом R.

, где  – объёмная плотность заряда, . Если , то . Если , то .

Если есть поле , то дивергенция , где V – объём, окружённый поверхностью.

. Здесь – проекция на нормаль , – приращение потока за счёт проекции его на ось x. Аналогично . При приближённое равенство переходит в равенство и .

Теорема Остроградского-Гаусса: .

Следует из того, что .

Тогда , где  – объёмная плотность заряда. Отсюда следует, что (т.к. S – произвольная поверхность) – теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Циркуляцией называется , где Г – контур, – элемент контура).

Теорема о циркуляции : .

Следует из того, что , т.к. работа совершается по замкнутому контуру.

Диполь

Диполь – это система из двух точечных зарядов, равных по величине, противоположного знака, находящиеся на расстоянии друг от друга маленьком по отношению к той точке, где требуется найти поле этой системы.

Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

. Потенциал в рассматриваемой точке , т.к. .

, где – орт , а – дипольный момент.

В декартовой системе координат . Найдем выражение для в полярной системе координат: . При этом и , следовательно, . Найдём выражение для напряжённости поля: и . Компонента . Для других двух компонент – аналогично. Отсюда .

Мультидипольное разложение

Пусть система зарядов сосредоточена в начале координат так, что каждый заряд характеризуется вектором . Найдём потенциал такой системы на расстоянии, характеризующемся радиус-вектором и углом . При этом . Из формулы Тейлора можно получить, что при будет Тогда и . Если эта сумма равна 0, то следует использовать также и третий член в формуле Тейлора, и если сумма опять равна 0, то четвёртый и т.д.

– дипольный момент системы.

Тогда .

Диполь в электрическом поле

М омент, действующий на диполь в однородном поле .

С ила, действующая на диполь в неоднородном поле:

В случае, если неоднородное поле симметрично относительно оси x, то сила , где  – угол наклона диполя к оси; его энергия .

Проводники

Проводники – это такие тела, которые содержат много свободных электронов, т.е. электронов, которые могут двигаться по проводнику в любую сторону, но не могут покинуть его поверхность.

Под действием электрического поля за короткое время получается равновесное распределение зарядов на проводнике.

Условия равновесного распределения: напряжённость поля внутри проводника равна 0, а на поверхности проводника перпендикулярна ей в любой точке.

Напряжённость электрического поля внутри проводника равна 0, следовательно, потенциал проводника постоянен всюду в проводнике, а его поверхность является эквипотенциальной поверхностью.

П оток вектора напряжённости через цилиндр, взятый на проводнике так, как показано на рисунке, , так как напряжённость поля внутри проводника равна 0. По теореме Гаусса . Если сообщить проводнику какой-то заряд, то через короткий промежуток времени он весь выйдёт на поверхность, и в результате на неё будет действовать растягивающая сила: , где – поля, создающееся зарядом, не находящимся на площадке . Заряд, который находится на площадке , создаёт поле , направленное в обе стороны от площадки:

и , где – нормаль к площадке.