19. Одним из направлений стохастической линии является теория вероятностей, где одной из важных задач на первом этапе является формирование понятия - вероятность случайного события.

Сначала необходимо познакомить учащихся с понятием случайное событие, сформировать у них представление о том, какое событие называется достоверным, какое невозможным и какие события называются равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры, и просить детей самих приводить такие примеры. Учитель должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных явлениях в быту, в природе и технике.

Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. При этом учитель сам должен качественно оценивать ответ, так как часто ответ является субъективным.

Перед введением самого понятия - вероятность случайного события полезно провести эксперименты со случайными исходами. После проведения экспериментов можно познакомить учащихся с  результатами экспериментов, которые неоднократно проводились на протяжении нескольких столетий и сравнить c результатами, полученными учащимися. Сравнивая их, учащиеся с удивлением замечают, что результаты очень похожи. Проведение экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес. Эксперимент является эмпирическим методом обучения, используемый в частности, в экспериментальных естественных науках, а математика не является экспериментальной. Поэтому этот метод в математике применяется редко, так как опыт не является достаточным основанием истинности того или иного предложения. Но опыт, эксперимент дает учащимся возможность извлечь из них очевидные закономерности, сделать какие то открытия, а теория вероятностей опирается именно на результаты многочисленных экспериментов.

В ходе экспериментов, вводится понятие частоты (отношение количества благоприятных исходов испытаний к количеству всех проведенных испытаний) и вероятности данного события. При проведении опытов учащиеся могут убедиться в действии следующего закона: с увеличением числа подбрасываний значения статистической частоты, выбранного для наблюдения исхода, устойчиво сосредотачивается возле некоторого числа р, которое и называют вероятностью наблюдаемого исхода или события.

20. У процесі формування в школярів умінь вирішувати тригонометричні рівняння рекомендується виділити три етапу:

1. підготовчий,

2. формування умінь вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності,

3. запровадження тригонометричних рівнянь і нерівностей інших напрямів, встановлення прийомів розв'язання.

Мета підготовчого етапу у тому, щоб, по-перше, розпочати формування в школярів вміння використовувати тригонометричний коло чи графік функції на вирішення рівняння; по-друге, познайомити учнів із застосуванням властивостей тригонометричних функцій на вирішення рівнянь виду та т.п.; по-третє, спеціально звернути увагу школярів застосування різних прийомів перетворень висловів під час вирішення тригонометричних рівнянь.

Реалізувати цей етап рекомендується у процесі систематизації знань школярів про властивості тригонометричних функцій. Основним засобом можуть бути завдання, запропоновані учням і що їх або під керівництвом вчителя, або сама.

Реалізація другого етапу навчання школярів рішенню тригонометричних рівнянь, у якому відбувається формування умінь вирішувати найпростіші рівняння, передбачає запровадження понять «>арксинус числа», «>арккосинус числа» тощо., отримання загальних формул рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, формування умінь ілюструвати вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь з допомогою графіка відповідної функції чи тригонометричного кола.

У зв'язку з реалізацією третього етапу процесу формування в школярів умінь вирішувати тригонометричні рівняння зробимо лише два зауваження.

По-перше, знайомство учнів з прийомами рішення тригонометричних рівнянь, які є найпростішими, доцільно здійснювати за такою схемою:

• звернення до конкретного тригонометричному рівняння = типового представника певного виду.

• спільний пошук (вчитель – учні) прийому рішення

• самостійне перенесення знайденого прийому на інші рівняння цього ж виду

• узагальнення-висновок про характеристики рівнянь аналізованого виду та загальний прийом розв'язання цих рівнянь.

По-друге, щоб, з одного боку, систематизувати знання учнів про прийоми рішення тригонометричних рівнянь, з другого, продемонструвати достатню «умовність» віднесення низки рівнянь до якогось виду.

У процесі формування в школярів умінь вирішувати тригонометрические нерівності, теж можна виділити 3 етапу.

1. підготовчий,

2. формування умінь вирішувати найпростіші тригонометричні нерівності;

3. запровадження тригонометричних нерівностей інших напрямів.

21. Приступаючи до розв'язування найпростійших показникових рівнянь, доцільно вписати на довідковій таблиці або на дошці основні формули дій із степенями.

Розв'язуючи показникові рівняння, можна використовувати ті загальні прийоми, які використовувались при розв'язуванні інших типів рівнянь.

Після відпрацювання розв'язання найпростійших рівнянь бажано запропонувати учням загальну схему пошуку розв'язку складніших показникових рівнянь. Ця схема може бути, наприклад, такою: 1. Звільняємось від числових доданків упоказниках степенів. 2. Пробуємо всі степені звести до однієї основи. 3. Якщо не вдається звести до однієї основи, то пробуємо звести до двох основ так, щоб дістати однорідне рівняння. 4. В інших випадках використовуємо спеціальні прийоми розв'язування: а) використовуємо монотонність показникової функції; б) оцінюємо множину значень функції, у лівій і правій частині рівняння і т.д.

При розв'язуванні найпростіших показникових нерівностей, доцільно звернути увагу учнів на те, що іноді потрібен спеціальний аналіз для оцінки основи показникової функції. Розв'язуючи складніші показникові нерівності, бажано звернути увагу учнів на доцільність використання тієї самої схеми розв'язування нерівностей, що й для показникових рівнянь. Бажано показати учням можливість застосування узагальненого методу інтервалів до розв'язування показникових нерівностей. Доцільно нагадати відому їм з курсу 10-го класу схему розв'язання нерівностей виду ( де - неперервна на кожному інтервалі своєї області визначення функція) методом інтервалів, а саме: 1. Знаходимо область визначення нерівності. 2. Знаходимо нулі функції. 3. Позначаємо нулі функції на області визначення і знаходимо знак у кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.

22. Логарифмічні рівняння і нерівності. Приступаючи до розв'язування логарифмічних рівнянь, треба враховувати, що всі властивості логарифмічної функції були доведені за умови, що вирази, які стоять під знаком логарифма, додатні.

Структура рівносильних перетворень рівнянь або нерівностей. 1. Область визначення. 2. Обмеження, які необхідні для гарантування прямих і обернених перетворень. 3. Відповідні властивості числових рівностей або нерівностей або властивості відповідних функцій. Як бачимо, щоб виконувані перетворення були рівносильні, необхідно, щоб виконувалися і обернені перетворення на області визначення даного рівняння. Бажано по можливості не використовувати формули логарифмування добутку, частки, і парного степеня, якщо це призводить до звуження області визначення рівняння, а користуватися цими формулами тільки справа наліво, що приводить до розширення області визначення (в цьому випадку можлива хіба що поява сторонніх коренів, але їх можна відсіяти перевіркою).

Необхідно звернути увагу учнів на те, що ідея логарифмування обох частин рівняння (або нерівності) є досить плідною і може використовуватись для розв'язування різних типів рівнянь (нерівностей).

Логарифмічні нерівності. Розв'язуючи логарифмічні нерівності, доцільно використати загальну схему рівносильних перетворень нерівностей. Ця схема іноді дає надмірну систему обмежень, яку можна суттєво спростити. Для рівносильності рівнянь надмірність системи обмежень майже не впливає на об'єм роботи щодо розв'язування цих рівнянь - можна не знаходити відповідні значення змінної з цих обмежень, а тільки перевіряти для кожного знайденого кореня. Розв'язком нерівності, як правило, є інтервал (або кілька інтервалів), які містять нескінчену множину чисел, а всі їх перевірити неможливо. Отже для розв'язування нерівності доведеться знаходити відповідні значення змінної з усіх записаних обмежень, і тому чим менше залишиться цих обмежень, тим краще. Бажано запропонувати учням не знаходити окремо область визначення нерівності, а спочатку записувати повну систему обмежень і рівносильну нерівність, а потім намагатися спростити утворену систему.

У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття логарифмічної функції, її властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів логарифмічної функції, розв'язувати логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями. Учні повинні навчитися схематично зображати графіки логарифмічних функцій при різних основах, пам'ятати основні властивості цієї функції та вміти використовувати їх при розв'язанні логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем.