20

§6. Движение по окружности.

Рис. 2.6.1.

Пусть в момент времени t = 0 материальная точка находилась в точке O окружности, которой соответствует радиус окружности OO = R (рис. 2.6.1). Спустя время t она оказалась в точке M, соответствующий ей радиус OM.

Угол, образованный радиусами, проведенными в точки окружности, соответствующие начальному и конечному положениям материальной точки, называется угловым перемещением: . Угловое перемещение измеряется в радианах. Путь s(t), пройденный материальной точкой, равен длине дуги OM. По определению радианной меры

. (2.6.1)

Понятия средней и мгновенной угловой скорости.

Средняя угловая скорость материальной точки за интервал времени t равна отношению углового перемещения, совершенного точкой за это время, к величине интервала времени t.

. (2.6.2)

Угловая скорость (мгновенная угловая скорость) определяется, как предел средних угловых скоростей материальной точки за интервал времени (t, t+t) при неограниченном стремлении промежутка времени t к нулю.

. (2.6.3)

Единица средней и мгновенной угловой скорости – радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость материальной точки определяется формулой:

. (2.6.4)

Сравнивая формулы (2.6.3) и (2.6.4) и пользуясь формулой (2.6.1), получим связь между линейной и угловой скоростями:

. (2.6.5)

Рассмотрим подробнее равномерное движение по окружности.

Равномерное движение по окружности (равномерное вращение).

Равномерное движение по окружности (равномерное вращение) – это движение с постоянной по модулю скоростью.

Т.к. при равномерном движении по окружности v = const и R = const,   = const. В случае равномерного движения по окружности можно определить период T и частоту  вращения.

Период вращения – это время, в течение которого материальная точка совершает один оборот.

Т.к. за период и t = T, то . (2.6.6)

Частота вращения – это величина, обратная периоду вращения.

. (2.6.7)

Связь угловой скорости и частоты вращения: . (2.6.8)

Единица частоты – герц (Гц = с^-1).

Рис. 2.6.2.

Покажем, что даже в случае равномерного движения по окружности материальная точка имеет ускорение. Действительно, т.к. вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, то направление вектора скорости все время изменяется, поэтому v(t+t)  v(t), а значит  0, где , Найдем величину и направление этого ускорения.

На рис. 2.6.2 показаны два положения материальной точки, соответствующие моментам времени t (точка M₁ траектории) и t+t (точка M₂). В случае равномерного движения v(t+t) = v(t) = v. На рисунке отдельно построен вектор . В равнобедренных треугольниках ABC и M₁OM₂ углы при вершинах равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами: . При стремлении t к нулю, угол  также стремится к нулю. В этом случае вектор vv(t), т.е. v направлен перпендикулярно касательной, а значит по радиусу к центру окружности. Таким образом, вектор ускорения a также направлен к центру и ускорение, возникающее при равномерном движении материальной точки по окружности, называется центростремительным или нормальным.

Найдем величину центростремительного ускорения. Для малых углов  можно считать, что длина хорды M₁M₂ равна длине дуги M₁M₂. Из подобия треугольников M₁OM₂ и ABC следует,

,  ,  .

.

Формула для центростремительного ускорения может быть представлена следующим образом.

. (2.6.9)

Впервые эта формула была получена во второй половине 16 века независимо Ньютоном и Гюйгенсом.