11.Центр тяжести и центр масс. Координаты центра тяжести и способы их определения.
Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Понятие центра масс широко используется в физике.
Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.
Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.
Центром тяжести тела называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массыP = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.
В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).
По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают.
12.Центр тяжести простейших плоских фигур: треугольника, дуги окружности, сектора.
Рисунок 1.10
1 Треугольник
Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).
DM = MB, CM = (1/3)AM.
2 Дуга окружности
Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. yC = 0.
dl – элемент дуги, dl = Rdφ, R – радиус окружности, x = Rcosφ, L = 2αR,
Следовательно:
xC = R(sinα/α).
3 Круговой сектор
Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox, на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).
Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R.
Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB:
13. Кинематика точки. Векторный способ. Скорость и ускорение.
Рассмотрим движение точки в плоскости относительно
прямоугольной декартовой системы координат Oxy (рис.1).
Непрерывная линия AB, которую описывает движущаяся точка
с течением времени, называется траекторией. В зависимости
от формы траектории различают прямолинейные и
криволинейные движения точки.
Рис 1. Векторы скорости и ускорения точки,
движущейся в плоскости.
Для задания положения движущейся точки используют
векторный, координатный или естественный способы
задания движения. В векторном способе задания движения точки ее
положение в любой момент времени определяют радиусом-
вектором
=
, проведенным из начала координат O в
движущуюся точку M (рис.1), то есть векторной функцией
= (t). (1.1) Конкретная функция (1.1) определяет закон движения точки в
векторной форме. Вектор r(t) изменяется в общем случае по
величине и по направлению.
Основными кинематическими характеристиками движе-
ния точки являются скорость и ускорение, которые являются
векторными величинами.
Скоростью
точки называют
вектор
, равный первой
производной по времени t от ее радиуса-вектора r , то есть от
векторной функции (t):
(1.2)
Здесь использован принятый в механике символ диф-
ференцирования по времени в виде точки, расположенный над
дифференцируемой функцией.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории
точки в сторону ее движения (рис.1).
Ускорением
точки
называется вектор
, равный первой
производной по времени t от ее скорости v или второй
производной от ее радиуса-вектора :
(1.3)
При криволинейном движении точки в плоскости Oxy
ускорение расположено в этой плоскости и отклонено от
скорости в сторону вогнутости траектории точки (рис.1). При
прямолинейном движении точки векторы скорости и
ускорения направлены вдоль траектории в одну сторону или
противоположные стороны.