3.Система сходящихся сил. Приведение к равнодействующей и условия равновесия.

Систе́ма сходя́щихся сил — это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

Такая система сил является на плоскости статически определимой, если число неизвестных сил в ней не больше двух (а не трёх, как в других статически определимых системах). Это обусловлено тем, что у такой системы сил имеется равнодействующая, равная нулю, и её момент равен нулю относительно любой точки плоскости по теореме Вариньона, а не исходя из условий равновесия статики.

В трёхмерном пространстве сходящаяся система сил является статически определимой, если число неизвестных сил в ней не превышает трёх.

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей

Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Докажем теорему: Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодейству­ющей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия. Пусть задана система сходящихся сил F₁, F₂, F₃, ..., F_n, при­ложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1, а). Перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий (21, б). Получили сист сил, прил к одной точке. Она эквивалентна заданной. Сложим F₁ и F₂, получим их равнодействующую: R₂=F₁+F₂. Сложим R₂ с F₃: R₃=R₂+F₃=F₁+F₂+F₃. Сложим F₁+F₂+F₃+…+F_n=R_n=R=∑F_i. Ч.т.д.

Вместо параллелограммов можно построить силовой многоугольник. Пусть система состоит из 4 сил (рис 2.2.). От конца вектора F₁ отложим вектор F₂. Вектор, соединяющий начало О и конец вектора F₂, будет вектором R₂. Далее отложим вектор F₃ помещая его начало в конце вектора F₂. Тогда мы получим вектор R₈, идущий от точки О к концу вектора F₃. Точно так же добавим вектор F₄; при этом получим, что вектор, идущий от начала первого вектора F₁ к концу вектора F₄, является равнодействующей R. Такой пространственный многоугольник называется силовым. Если конец последней силы не совпадает с началом  первой силы, то силовой многоугольник наз разомкнутый. Если для нах равнодействующей исп прав геометр, то этот способ наз геометрическим.

  Аналитический способ определения равнодействующей заключается в вычислении ее проекций на оси декартовой системы координат

 Так как система сходящихся сил имеет равнодействующую, для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы эта равнодействующая равнялась нулю:

.                                                      

Тогда силовой многоугольник оказывается замкнутым, откуда следует геометрическое условие равновесия: «Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на силах системы, был замкнут».

4.Приведение плоской системы сил к данному центру (метод Пуансо)  Пусть к твердому телу приложена плоская система сил     (рис.1.16). Возьмем в теле произвольную точку   , ко­торую будем называть центром приведения, и приложим к ней по­парно уравновешенные силы     и   . Заметим, что силы    и   образуют при этом пару сил, так что можно считать силу     перенесенной параллельно самой себе в точку     - за­мененной силой     с присоединением пары   . Посту­пив так и со всеми оставшимися силами, мы приведем заданную систему сил к совокупности пучка сил   , приложенных в точке   , и совокупности пар   . Сходящиеся силы имеют равнодействующую   , приложенную в точке     и равную векторной сумме всех сил системы. Эта сумма называется главным век­тором системы и обозначается   .

 Пары можно заменить одной результирующей парой с моментом   , равным алгебраической сумме их моментов. Так как момент пары равен сумме момен­тов входящих в нее сил относительно любой точки плоскости пары, то для каж­дой из складываемых пар

 

 .

 

Поэтому сумма моментов пар равна сумме моментов самих заданных сил отно­сительно точки   , которая называется главным момен­том системы относи­тельно этой точки и обозначается   . Та­ким образом, систему сил, произ­вольно расположенных на плоско­сти, можно заменить совокупностью одной силы   , равной их главному вектору   , и приложенной в произвольно выбран­ном центре приведения, и одной пары, момент которой     равен главному мо­менту     заданных сил относительно центра приве­дения. Это утверждение на­зывается теоремой Пуансо о приведении плоской системы сил к данному цен­тру.

Главный вектор и главный момент системы опре­деляются по формулам:  

 

 ,   . 

5.Условия равновесия произвольной системы сил. Теорема Вариньона. Для равновесия твердого тела под действием произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю:

Условия равновесия являются условиями равновесия в геометрической или в векторной форме. Эти условия широко используются в теоретических доказательствах, однако при решении практических задач они не применяются из-за сложности построения силового и моментного многоугольников в пространстве.

Для получения условий равновесия в аналитической или в координатной форме свяжем с поверхностью Земли или основанием систему координат OXYZ. Центром приведения выберем начало координат O. Спроектируем на оси координат оба векторных выражения в (2). При проектировании учтем, что момент силы относительно оси равен проекции момента относительно центра на оси. В результате получим шесть аналитических выражений:

(3)

Эти выражения представляют математическую запись условий равновесия произвольной системы сил в аналитической форме.

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси координат и три суммы моментов всех сил относительно осей координат равнялись нулю.

Если условия равновесия (3) содержат известные и неизвестные силы конкретной задачи, то их называют уравнениями равновесия.

Следует отметить, что при составлении уравнений равновесия за центр приведения может быть выбрана любая другая точка

Теорема Вариньона теорема механики, устанавливающая зависимость между моментами сил данной системы и моментом их равнодействующей. Сформулирована и доказана впервые французским учёным П. Вариньоном. Согласно В. т., если система сил F_i имеет равнодействующую R, то момент М_о (F_i) равнодействующей относительно любого центра О (или оси z) равен сумме моментов M_o (F_i) составляющих сил относительно того же центра О (или той же оси z). Математически В. т. выражается равенствами:

           

 В. т. пользуются при решении ряда задач механики (особенно статики), сопротивления материалов, теории сооружений и др.