Поверхности 2-го порядка

Описываются фрмулой:

Все поверхности кроме эллипсоида бесконечны. Поэтому только эллипсоид может самостоятельно образовывать объемный примитив, все другие требуют ограничения в пространстве.

Квадратичная функция в матричном виде:

,

где .

Нормаль к поверхности в точке (X,Y,Z) определяется:

, где ,

i, j, k – орты осей OX,OY,OZ. Направлена нормаль по градиенту скалярного поля , то есть в сторону увеличения значений . Так как функция является монотонной и однократно знакопеременной, то направлена в ту часть подпространства, где . Например, к поверхности шара направлена внутрь шара, а к поверхности того же шара направлена наружу.

Явное задание квадратичной поверхности применяют в методе обратной трассировки лучей. При прямой трассировке используют параметрическую форму:

; ; .

Например, эллипсоид в параметрическом виде:

.

Для переноса квадратичной поверхности используется преобразование:

,

где - точка в другой СК;

F - матрица размером .

Новая матрица :

.

Для перехода в другую СК параметрически заданной поверхности:

.

Пример: преобразовать шар, описываемый формулой в системе координат путем сдвига на 5 единиц по всем осям.

Описание шара в матричном виде:

.

, .

Координаты новой точки:

Фрактальные поверхности

Ранее были рассмотрены различные методы пролучения моделей объектов и работы с ними. В качестве объектов обычно выступали объекты, сделанные человеком. Они были представлены или аппроксимированы плоскостями и поэтому были достаточно просты для моделирования. Что же делать с объектами живой природы? Например, как представить дерево с его множеством листьев разной формы, размера и цвета? Модель становится очень сложной, потребуется много вреени для ее обработки, что особо недопустимо для работы в реальном времени. С другой стороны, при моделировании дерева не очень важны его особенности расположения листвы, так как его модель чаще всего используется не для проведения точных расчетов, а для формирования естественной сцены, например, в компьютерной игре для фона. Некоторые же объекты ввобще не могут быть описаны на основе традиционных приемов, базирующихся на использовании непрерывных функций. Но можно заметить, что большинство природных сцен статически родственны. Например, проведя анализ нерегулярных изображений береговой линии, полученных при съемке с высот 10; 3 км и при наблюдении с поверхности земли, было установлено, что при любом уровне разрешения береговая линия может быть смоделирована и нарисована посредством объединения участков небольших прямолинейных сегментов. Причем при переходе на каждый следующий, более высокий уровень разрешения, который был аппроксимирован первым прямолинейным сегментом, этот сегмент вероятностным способом разбивается на последовательность линейных сегментов, и т.д. На основании этого свойства – постоянства статистического закона порождения деталей природных образований при переходе от низких к более высоким уровням разрешения – построен метод использования фрактальных поверхностей.

В переводе (англ.) «фрактальный» обозначает состоящий из частей. Такими поверхностями называется класс нерегулярных геометрических форм, задаваемых вероятностным образом на основе исходного описания низкого разрешения. Случайный закон, по которому исходная линия или поверхность дробится на несколько более мелких, подбирается опытным путем по критерию визуального согласования синтезированного изображения с реальной сценой.

Часто фрактальные поверхности используются для моделирования горного ландшафта. Вначале горный массив описывают очень приближенно полигональной сеткой из четырехугольников. Каждый четырехугольник разбивают с помощью случайной функции на четыре фигуры меньших размеров, причем эти фигуры вероятностным образом сдвигают относительно плоскости исходного четырехугольника, сохраняя для каждой фигуры по одной общей вершине с исходным четырехугольником. Каждую фигуру вновь делят и так до достижения желаемого уровня изрезанности поверхности. Далее удаляются скрытые линии и производится закраска четырехугольников (рис.9.1).

Рис. 9.1 Разбиение полигонального многоугольника при моделировании объема

Изображения, созданные на основе фрактальных поверхностей, только статистически идентичны реальным объектам и не обладают идеальной точностью.