Описание неявными функциями

Заключается в моделировании поверхностей в виде:

.

Могут быть использованы функции различных порядков, но из-за сложности математической обработки ограничиваются 1-ой и 2-ой степенью. Поверхности, описываемые функциями 3-ей и 4-ой степени, незначительно расширяют возможности геометрической имитации форм, а вычисления резко увеличиваются.

Поверхности 1-го порядка, описывающие плоскости:

Поверхности 2-го порядка, описывающие две плоскости, конусы, гиперболоиды, параболоиды и эллипсоиды:

Описание неявными функциями удобно для использования в методе твердотельного описания объектов и при трассировании лучей, так как легко определить взаимное положение точки и поверхности такого типа, пересечение прямой и плоскости.

Поточечное описание

Поверхность представляется множеством отдельных точек, принадлежащих этой поверхности. Теоретически, при бесконечном увеличении числа точек, такая модель обеспечивает непрерывную форму описания.

Поточечное описание применяют в случаях, когда поверхность очень сложна, не обладает гладкостью, а детальное представление многочисленных геометрических особенностей важно. Например, участки грунта на других планетах, формы малых небесных тел, информация о которых доставлена с искусственного спутника в виде нескольких стереопар; микрообъекты, снятые с помощью микроскопов.

Исходная информация представляется в виде матрицы трехмерных координат точек. Они определяются автоматизированными методами на стереоприборах. Часто используется сопоставление стереопар. Надо учитывать требуемую частоту расположения точек.

К недостаткам данного метода можно отнести:

отсутствие информации о поверхности между точками. В полигональных сетках предполагается, что между точками находятся участки плоскостей;

трудоемкость снятия данных с объекта;

большие вычислительные затраты;

большой объем исходных данных.

Фрактальное описание

Поверхность описывается по какому либо фрактальному закону.

9.2. Характеристики поверхностей

Наиболее часто в представлении поверхностей используются поверхности 1-го и 2-го порядков. Поверхности более высоких порядков почти не используются из-за сильно возрастающей сложности обработки.

Поверхности 1-го порядка

Поверхности вида:

в матричном виде имеют вид:

, где .

Изменяя компоненты матрицы Р можно описать плоскость любой ориентации и положения, это будет бесконечная плоскость. Реальный участок имеет ограничения. Наиболее удобно ограничение выпуклым многоугольником. Все другие случаи, как криволинейного ограничения, так и невыпуклой фигурой, могут быть сведены к первому путем аппроксимации или разбиения на выпуклые подфигуры. Граничные точки многоугольника оцифровываются и их координаты записываются в матрицу:

, где .

Уравнение плоскости определяют на основе трех точек, не лежащих на одной прямой:

.

Нормаль : .

Направлена нормаль в сторону полупространства, где значение скалярного поля .

Из поверхностей первого порядка составляются полигональные сетки (серия смежных многоугольников, не имеющих разрывов между собой, каждое ребро является общим для смежных многоугольников).

Описывающая функция обладает непрерывностью, а производная имеет разрывы в местах стыка участков.

Достоинством данной функции является простота обработки.