Центральные проекции

Основное свойство — более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах (рис. 11.6).

Рис. 11.6 Центральная проекция

Параллельные прямые в общем случае на изображении не параллельны.

Если совокупность прямых параллельна одной из главных координатных осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются три такие точки.

Если проекционная плоскость перпендикулярна оси Z, то лишь на этой оси будет лежать главная точка схода.

Центральные проекции классифицируется в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают (рис. 11.7).

Рис. 11.7 Центральные проекции с разным количеством точек схода

Двухточечная центральная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном проектировании и в рекламных изображениях, в которых вертикальные прямые проецируются как параллельные.

Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, так как их трудно конструировать, и они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности.

Перспективное изображение зависит от положения глаза. Эффект перспективы обратно пропорционален расстоянию между глазом и объектом. Если глаз находится близко от объекта, то получается сильный эффект перспективы (хорошо видны точки схода, линии явно не параллельны). Если глаз расположен далеко, то параллельные линии объекта будут казаться параллельными и на картинке.

11.2. Математическое описание прямоугольных проекций

Ортографические проекции получаются достаточно просто. Если проекционная плоскость - Z=0, направление проецирования совпадает с осью Z, то точка Р имеет координаты:

Матрица проецирования:

— фронтальная проекция

Аналогично для двух других проекций (рис.11.8):

— профильная проекция

— горизонтальная проекция

Рис. 11.8 Ортографические проекции

Аксонометрическая проекция получается при повороте на угол относительно оси У и на угол относительно оси Х с последующим проецированием вдоль оси Z (рис.11.9).

Рис. 11.9 Аксонометрические проекции

Матрица проецирования:

Покажем, как при этом преобразуется единичные орты координатных осей Х, У, Z:

Для изомерии:

Для диметрии:

Изометрическая проекция:

Диметрическая проекция:

,

где - координаты т. объекта, - координаты т. изображения.

11.3. Математическое описание косоугольных проекций

При описании косоугольных проекций матрица проецирования может быть записана исходя из значений и . Для единичного куба, спроецированного на плоскость ХУ точка Р принадлежит объекту, а точка - изображению точки Р на проекции (рис. 11.10).

Рис. 11.10 Косоугольная проекция

Проекцией точки Р, координаты которой (0,0,1), является точка с координатами , принадлежащая плоскости ХУ. По определению это означает, что направление проецирования совпадает с отрезком . Это направление есть:

.

Направление проецирования составляет угол с плоскостью ХУ.

Рассмотрим произвольную точку (x,y,z) и определим ее косоугольную проекцию ( ) на плоскость ХУ (рис. 11.11).

Рис. 11.11 Получение косоугольной проекции

Уравнение для х и у – координат проектора как функций z имеют вид:

- (прямая 1, рис. 11.11)

- (прямая 2, рис. 11.11)

На рис. 11.11, б показаны изображения точки и проектора. Уравнения для х и у – координат проектора:

Находим , :

Матрица, которая выполняет эти действия, а, следовательно, описывает косоугольную проекцию:

Применение матрицы приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта. Плоскости с постоянной координатой z=z₁ переносятся в направлении х на , в направлении y — на и затем проецируется на плоскость z=0. Сдвиг сохраняет параллельность прямых, а также углы и расстояния в плоскостях, параллельных оси z.

Для изометрической косоугольной проекции (см. рис. 11.9)

Для диметрической косоугольной проекции .

Для ортографической косоугольной проекции , .

Пример косоугольной проекции приведен на рис. 11.12.

Рис. 11.12 Пример косоугольных проекций

Параллельные проекции реализуются через аффинные преобразования, которые являются комбинацией линейных преобразований, сопровождаемых переносом изображений. Для аффинных преобразований последний столбец в результирующей матрице преобразования размера должен быть равен .