Глава 11. Проецирование

Для отобоажения трехмерной модели объекта на плоском экране монитора требуется предварительное проецирование на плоскость. Существуют разные виды проекций. Некоторые широко использовались ранее, когда чертежи выполнялись вручную и, следовательно, выполнять сложные расчеты проецирования было невозможно. Некоторые стали популярны лишь с появлением компьютерной графики.

11.1. Основные виды проекций

В общем случае проекции преобразуют точки в системе координат размерностью n в точки в системе координат размерностью m, где m<n. На практике применяется преобразование трехмерного пространства в двумерное.

Проецирование трехмерного объекта осуществляется при помощи прямых проецирующих лучей, которые называются проекторами и которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию. Так как проекция отрезка сама является отрезком, то достаточно спроектировать лишь конечные точки. Проекции делятся на центральные и параллельные (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Виды проецирования

Определенные таким образом проекции являются плоскими геометрическими проекциями (проецирование на плоскость прямыми линиями). Основные виды проекций приведены на рис.11.2.

Рис. 11.2 Основные виды проекций

Если расстояние между центром проекции и плоскостью проекции конечно, то проекция называется центральной, если же бесконечно, проекция называется параллельной.

При описании центральной проекции задается центр проекции, а при описании параллельной проекции – направление проецирования.

Параллельные проекции

Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования ( ) и нормалью к проецируемой плоскости ( ).

В прямоугольных проекциях эти направления совпадают ( ), а в косоугольных — нет ( ). Наиболее широко используются ортографические проекции: вид спереди, сверху и сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим с направлением проецирования (рис.11.3).

Рис. 11.3 Ортографические проекции

В аксонометрических проекциях используется проекционная плоскость, не перпендикулярная главным координатным осям, поэтому на них изображается сразу несколько сторон объекта. Сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются.

Широко используется изометрия. В этом случае нормаль к проекционной плоскости составляет равные углы с каждой из главных координатных осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (а,в,с), то |a|=|в|=|с|.

Существует четыре различные изометрические проекции: (а,а,а); (-а,а,а); (а,-а,а); (а,а,-а). Свойство изометрии: все 3 главные координатные оси одинаково укорачиваются.

в диметрии нормаль к проекционной плоскости составляет равные углы с двумя координатными осями.

В триметрии нормаль к проекцинной плоскости образует с координатными осями различные углы.

Косоугольные проекции ( ) сочетают в себе свойства ортографических проекций со свойствами аксонометрии. Проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что углы и расстояние не искажаются.

В косоугольной изометрии направление проецирования составляет с проекционной плоскостью угол 45⁰. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, то есть укорачивания нет (рис. 11.4).

Рис. 11.4 Косоугольная изометрия

В косоугольной диметрии направление проецирования составляет с проекционной плоскостью угол . Отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют 1/2 их действительной длины (рис. 11.5).

Рис. 11.5 Косоугольная диметрия

Эта проекция более реалистична, т.к. укорачивание с больше согласуется с нашим визуальным опытом.