4.4. Расчет средней величины по результатам группировки. Свойства средней арифметической

Если исходные данные представлены в сгруппированном виде, то средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (арифметических либо гармонических). Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указываются не конкретные значения признака Х по каждой группе, а лишь интервалы его изменения. Правильный расчет общей средней величины возможен, если каким-либо образом удается установить средние значения признака в каждой группе. Если такие средние в группах определить по имеющимся сведениям нельзя, то их заменяют серединами интервалов, получая в итоге некоторое, чаще всего вполне удовлетворительное, приближение к среднему значению. Таким образом, расчет средней арифметической величины выполняют по формуле

, где .

Расчет среднего значения по данным группировки требует, как всегда, обоснованного выбора взвешивающего показателя. Очень часто необходимые для анализа величины f_j – частоты повторения признака Х – в исходных данных либо отсутствуют, либо не столь очевидны.

Рассмотрим пример.

Группы предприятий	Себестоимость одного изделия, руб.	Число предприятий, %	Объем продукции, %	Затраты на производство, %
1	110 – 115	8	9	8,2
2	115 – 120	16	18	17,2
3	120 – 125	24	24	23,9
4	125 и выше	52	49	50,7
Итого	-	100	100	100

Если с определением середин интервалов никаких сложностей не возникает (112,5; 117,5; 122,5; 127,5), то при назначении взвешивающего показателя ошибкой может быть выбор признака “Число предприятий”, когда в процессе анализа рассматривается общая сумма затрат на производство. Умножение величины себестоимости одного изделия на число предприятий весьма косвенно характеризует общую сумму затрат на производство. Точную экономическую величину – оценку общих затрат на производство данной продукции получаем умножением себестоимости одного изделия на объем продукции. Таким образом, если использовать формулу средней арифметической, то в качестве взвешивающего показателя следует выбрать показатель объема продукции или его процентной доли в совокупном объеме производства. Тогда средняя себестоимость изделия будет равна

Такое же значение средней себестоимости в данном примере можно получить и по формуле средней гармонической, если в качестве взвешивающего признака использовать показатель “Затраты на производство”

Заметим, что исходные данные задачи позволяют определить еще 2 показателя, косвенно характеризующие средний уровень себестоимости. А именно, 123,5 руб. – такая себестоимость единицы продукции приходится на 1% общего числа предприятий и 123,355 руб. – таков средний уровень себестоимости изделия, относящийся к 1 проценту общей суммы затрат.

Для ускорения ручных расчетов полезно знать следующие свойства:

1) величина средней арифметической не изменится, если веса всех вариантов заменить новыми, полученными из начальных умножением или делением на одно и то же число (s); действительно,

2) если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) увеличить либо уменьшить в одно и то же число раз (или на одно и то же число), то среднее значение получившегося нового признака будет во столько же раз (или на столько же) отличаться от среднего значения исходного показателя. Действительно,

Свойство 1 используется для расчета средней величины через показатели удельного веса (частости). Свойство 2 применяют для ускорения ручных расчетов, особенно если первичные данные представлены в сгруппированном виде. Так, по приведенным данным найдем новую величину X΄, варианты которой определим по формуле –

, ( – середина интервала i).

Тогда . Переходим к средним величинам:

,

Важно правильно выбрать величины А (обычно это середина какого-либо интервала) и h (чаще всего это величина интервала изменения признака в какой-либо группе).

Пусть, например, А = 122,5 и h = 5. Получаем последовательность величин X΄i: -2; -1; 0; 1. Их среднее значение равно = (-2)·0,09 + (-1)·0,18 + 0·0,24 + 1·0,49 = 0,13. Таким образом, = 5·0,13 + 122,5 =123,15 руб.