9. Статистический смысл волн де-Бройля. Сопряженные переменные. Принцип неопределенности Гейзенберга. Оценка размера и минимальной энергии атома на основе соотношения неопределенности.

Принцип неопределенности. Экспериментальные исследования свойств микрочастиц (атомов, электронов, ядер, фотонов и др.) показали, что точность определения их динамических переменных (координат, кинетической энергии, импульсов и т.п.) ограничена и регулируется открытым в 1927 г. В. Гейзенбергом принципом неопределенности. Согласно этому принципу динамические переменные, характеризующие систему, могут быть разделены на две (взаимно дополнительные) группы:

1) временные и пространственные координаты (t и q); 2) импульсы и энергия (p и E).

При этом невозможно определить одновременно переменные из разных групп с любой желаемой степенью точности (например, координаты и импульсы, время и энергию). Это связано не с ограниченной разрешающей способностью приборов и техники эксперимента, а отражает фундаментальный закон природы. Его математическая формулировка дается соотношениями:

где Dq, Dp, DE, Dt - неопределенности (погрешности) измерения координаты, импульса, энергии и времени, соответственно; h - постоянная Планка.

Обычно достаточно точно указывают значение энергии микрочастицы, так как эта величина сравнительно легко определяется экспериментально.

Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории. В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии. Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной частицы, движущейся в кулоновском поле Е = p² / 2m - e² / r,

где m и е – соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Согласно соотношению ∆px ∆x > h, эти величины связаны друг с другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r из формулы. Получим E(p) = p² / 2m - e²p / h. Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р1; обозначим его через Е1. Величину Е1 можно рассматривать как оценку энергии основного состояния атома водорода, а величину r1 = h / p1 – как оценку линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты). Приравнивая к нулю производную, находим р1 = me² / h. Отсюда немедленно получаем искомые оценки: r1 = h² / me², E1 = -me⁴ / 2h².

Эти оценки полностью совпадают с результатами строгой теории. Конечно, к такому полному совпадению надо относится в известной мере как к случайному успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок величин. Подчеркнем, что этот порядок, как мы видим, оценивается весьма просто: достаточно заменить в классическом выражении точными значениями динамических переменных величинами, характеризующими степень «размытия» этих переменных, т.е. их неопределенностями, а затем воспользоваться квантомеханическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности.

10. Волновая функция (пси-функция). Нестационарное и стационарное урав-нения Шредингера. Операторы физических величин. Гамильтониан.

Волновая функция

Волнова́я фу́нкция, или пси-функция — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где — координатный базисный вектор, а — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции

В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени :

.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема :

Уравнение Шредингера.

Чтобы иметь представление о свойствах дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять волновая функция частицы, рассмотрим волновое уравнение (2.1) для напряжен­ности электрического поля. Продифференцировав (2.5) дважды по x и по t, найдем

Подставив эти выражения для производных в уравнение (2.1) и сократив на общие множители, получим после извлечения квадратного корня из обеих частей равенства

т.е. подстановка волновой функции в волновое уравнение в случае плоской монохроматической электромагнитной (световой) волны приводит к соотношению между энергией и импульсом для светового кванта.

Будем считать, что в случае свободной частицы, волновая функ­ция которой (2.7) также соответствует плоской монохроматической волне, волновое уравнение должно удовлетворять этому же условию, т.е. после подстановки в него волновой функции должно получиться соотношение между энергией и импульсом частицы. Свободная частица имеет только кинетическую энергию. Поэтому ее полная энергия связана с импульсом p, согласно формуле (2.15), соотношением

222\* MERGEFORMAT (.)

Дифференцирование волновой функции мы можем заменить действием на нее операторов. В частности, мы нашли, что волновая функция свободной частицы (2.7) умножается в результате действия на нее опера­тора полной энергии (2.11) на величину E энергии частицы, а в результате действия оператора кинетической энергии (2.16) на ве­личину . Поэтому, если мы напишем уравнение для волновой функции частицы (2.7) в виде

323\* MERGEFORMAT (.)

то после действия операторов получится

и после сокращения на Ψ будет выполнено соотношение (2.18).

Если в уравнение (2.19) подставить выражения для операторов, мы придем к дифференциальному уравнению для волновой функции свобод­ной частицы, удовлетворяющему сформулированному выше условию:

424\* MERGEFORMAT (.)

Само по себе это уравнение не дает ничего нового, так как его ре­шением являются волновые функции вида (2.7) для свободной час­тицы, которые были использованы для составления уравнения. Кроме того, практически всегда приходится иметь дело не со свободными частицами, а с частицами, взаимодействующими друг с другом или подвергающимися воздействию какого-либо поля. Таким образом, урав­нение (2.20) следует видоизменить, чтобы в нем учитывались воздей­ствия, которым подвергается частица.

Полная энергия частицы, подвергающейся какому-либо воздействию, складывается из кинетической энергии T и потенциальной энергии U. Поэтому можно предположить, что уравнение (2.19) в случае частицы, подвергающейся воздействию, должно быть заменено уравнением

525\* MERGEFORMAT (.)

где – оператор потенциальной энергии. Примем в качестве гипо­тезы, что оператор потенциальной энергии совпадает с самой потенциальной энергией U.

Тогда, заменив в уравнении (2.21) операторы их выражениями, нридем к уравнению

626\* MERGEFORMAT (.)

Это уравнение называется уравнением Шредингера и является основным уравнением квантовой механики. Поскольку мы пришли к этому уравнению после целого ряда предположений (комплексная вол­новая функция, соответствие между операторами и физическими вели­чинами, вид оператора потенциальной энергии), то следствия, выте­кающие из этого уравнения, должны быть проверены на опыте. Как уже говорилось выше, эти следствия очень хорошо подтверждаются опытны­ми фактами. Следует только отметить, что уравнение (2.22) верно лишь при описании движения частиц, скорость которых значительно меньше скорости света, так как соотношение (2.15) между кинетичес­кой энергией и импульсом справедливо лишь при этом условии. В ре­лятивистском же случае для описания волновых свойств частицы сле­дует пользоваться другими уравнениями (Дирака, Клейна-Гордона).

Уравнение Шредингера в стационарном случае. Вообще говоря, потенциальная энергия U зависит от координат частицы и времени и времени t. Если же U от времени не зависит (стационарное движение) и, следовательно, полная энергия E также не меняется с течением времени, то волновую функцию можно представить в виде двух сомножителей:

727\* MERGEFORMAT (.)

Первый сомножитель зависит только от времени, а второй - толь­ко от координат. Подставив волновую функцию (2.23) в уравнение (2.22), получим, учитывая, что в левой части уравнения нужно диф­ференцировать только первый множитель, а в правой - только второй:

Сократив на , найдем уравнение для функции (так называемое стационарное уравнение Шредингера)

828\* MERGEFORMAT (.)

Здесь E – величина полной энергии – постоянное число.

Плотность вероятности в стационарном случае равна квадрату модуля функции , так как

929\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, чтобы найти плотность вероятности в стационар­ном случае, нужно решить уравнение (2.24) при заданной зависимос­ти потенциальной энергии частицы от ее координат. Всякое дифферен­циальное уравнение имеет единственное решение лишь при определен­ных условиях, накладываемых на функцию. Эти условия обычно опреде­ляются физическим смыслом функции и ее значениями на границах области. Естественно считать, что плотность вероятности есть непре­рывная функция координат, везде конечная и однозначная. Очевидно, эти же условия должны выполняться и для функции . Кроме того, чтобы можно было пользоваться уравнением, в которое входят вторые производные функции по координатам, необходимо, чтобы эти вторые производные существовали, а для этого нужно, что­бы первые производные были также непрерывными и конечными.

Операторы.

10210\* MERGEFORMAT (.)

11211\* MERGEFORMAT (.)

Математический символ, указывающий, какие действия (операции) нужно совершить над стоящей справа от него функцией, называется оператором. В данном случае оператором является постоянный множи­тель iћ и знак производной по времени , т.е. символ . Этот оператор действует на функцию . В результате действия оператора получается та же функция, умноженная на величину энергии E.

Бели в результате действия оператора на функцию получается та же функция, умноженная на постоянный коэффициент, имеющий смысл не­которой физической величины, то

1. оператору приписывается название этой физической величины; обычно он обозначается той же буквой, что и эта физическая величина, с ломаной линией ("крышечкой") наверху;

2. функция называется собственной функцией этого оператору;

3. коэффициент, на который умножается функция, называется собственным значением оператора.

Таким образом, символ 12212\* MERGEFORMAT (.)

является оператором полной энергии частицы, волновая функция сво­бодной частицы (2.7) - собственной функцией оператора полной энергии, а величина энергии E - собственным значением этого опе­ратора.

Так как в результате дифференцирования волновой функции (2.7) по координатам и умножения полученных выражений на – iћ получается

13213\* MERGEFORMAT (.)

то символы

14214\* MERGEFORMAT (.)

называются операторами проекций импульса.

Функция (2.7) является одновременно собственной функцией операторов всех проекций импульса, в величины проекций – собственными значениями этих операторов.

За оператор координаты принимают саму координату, т.е. . Действие оператора координаты на функцию сво­дится к умножению этой функции на координату.

С операторами согласно определенным правилам можно произво­дить действия: сложение и умножение. Результатом действия суммы операторов на некоторую функцию является сумма результатов действий на эту функцию каждого оператора по отдельности. Произведением же операторов называется последовательное действие на функцию двух операторов: сначала на функцию действует один оператор (стоящий ближе к ней второй сомножитель), затем результат этого действия подвергается действию второго оператора (первого сомножителя).

В частности, квадрат оператора проекции импульса на ось Оx действует на функцию Ψ следующим образом:

Действие квадратов других проекций импульса аналогично. Следовательно,

15215\* MERGEFORMAT (.)

В квантовой механике при помощи сложения и умножения из опера­торов составляют новые операторы, которые носят название физических величин, по аналогии с которыми они составлены. Например, частица массы m с импульсом p имеет скорость . Так как квад­рат импульса частицы , то кинетическая энергия этой частицы

16216\* MERGEFORMAT (.)

Если в этом выражении квадраты проекций импульса, заменить соответствующими операторами (2.14), то получится оператор кинети­ческой энергии

17217\* MERGEFORMAT (.)

Здесь – дифференциальный оператор, который в математике носит название оператора Лапласа.

При двукратном дифференцировании волновой функции свободной частицы (2.7) по какой-либо координате функция умножается на и на квадрат соответствующей проекции импульса. Поэтому, действуя оператором на волновую функцию (2.7), найдем

18218\* MERGEFORMAT (.)

т.е. в этом случае получается та же функция, умноженная на величину кинетической энергии.

Гамильтониан (квантовая механика)

Гамильтониа́н ( или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы. Его спектр — это множество возможных значений, при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например для Кулоновского потенциала) когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если состояние системы в момент времени t, то

Это уравнение называется уравнение Шрёдингера .Зная состояние в начальный момент времени (t= 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

Если Гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для Гамильтониана

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то Гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

и для трёх измерений:

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени), в одном измерении, Гамильтониан такой:

в трёх измерениях