13. Гармонический осциллятор. Нулевая энергия гармонического осциллято-ра. Правила отбора.
Квантовый гармонический осциллятор
Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая движение под действием кваиупругой силы. Осциллятор называют одномерным, если система, например частица, может двигаться только вдоль одной прямой.
Задача об уровнях энергии одномерного гармонического осциллятора является одной из наиболее важных задач о собственных значениях.
В квантовой теории понятие силы теряет смысл, поэтому квантовый гармонический осциллятор следует определить как поведение частицы массы т с потенциальной энергией U(x) такой же, как у классического осциллятора, а именно
|
(12.25) |
Собственная частота классического гармонического осциллятора равна ωо = √k/т, где т — масса частицы (см. Cавельев, кн. 1).
Выразив в формуле (12.25) k через т и ωо, получим
|
(12.26) |
где х — отклонение от положения равновесия. Зависимость (12.26) имеет вид параболы (рис. 12.5), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.
Рис.12.5.
С классической точки зрения амплитуда малых колебаний осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 12.5). В точках с координатами ± хmax кинетическая энергия осциллятора равна нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию осциллятора. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-xmax, +xmax). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами –хmax ≤ х≤ хmax «без права выхода» из нее.
Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера (12.16), учитывающим выражение (12.26) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида
|
(12.27) |
где Е — полная энергия осциллятора.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (12.27) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения при собственных значениях
|
(12.28) |
Из формулы (12.28) следует: энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется.
Из формулы (12.28) также следует, что уровни энергии расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (на рис. 12.6 они изображены горизонтальными прямыми), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ћωо, причем минимальное значение энергии Е0 = (1/2) ћωо. При n >> 1 En = пћωо (т. е. энергетические уровни осциллятора совпадают с величинами квантованной энергии осциллятора, постулируемыми Планком в теории излучения черного тела.
Как следует из выражения (12.28), минимальная энергия квантового осциллятора
|
(12.29) |
она называется энергией нулевых колебаний.
Наличие энергии нулевых колебаний типично для квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей: частица не может находиться на дне потенциальной ямы независимо от ее формы. Если бы это было возможно, то импульс, а также его неопределенность обращались бы в нуль. Тогда неопределенность координаты ∆х→ ∞, что противоречит пребыванию частицы в потенциальной яме.
Плотность вероятности обнаружить частицу на оси х определяется квадратом модуля волновой функции |ψ(х)|2. На рис. 12.6 представлены кривые распределения плотности вероятности |ψn(х)|2 для различных состояний квантового осциллятора (для п = 0, 1 и 2).
Рис.12.6.
В точках А и А', В и В', Си С' потенциальная энергия равна полной энергии (U = E), причем, как известно, классический осциллятор не может выйти за пределы этих точек.
Д
ля
квантового осциллятора |ψn(х)|2 и за
пределами этих точек имеет конечные
значения. Это означает, в свою очередь,
что имеется конечная, хотя и небольшая,
вероятность обнаружить частицу за
пределами «потенциальной ямы». Этот
результат не противоречит выводам
квантовой механики, поскольку, как уже
отмечалось, равенство Т = Е— U в квантовой
механике не имеет силы, так как кинетическая
(Т) и потенциальная (U) энергии не являются
одновременно измеримыми величинами.
Рис. 12.7.
При больших значениях п квантовое распределение плотности вероятности проявляет все большее сходство с классическим (рис. 12.8), где представлены квантовое (сплошная кривая) и классическое (пунктир) распределение плотности вероятности для п = 10.
Рис. 12.8.
В этом находит свое выражение постулат квантовой механики — принцип соответствия Бора: выводы и законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел должны соответствовать выводам и законам классической физики.
Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.
Более детальный расчет, выходящий за рамки уравнения Шредингера, показывает, что для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними «стационарными» уровнями, при которых квантовое число n изменяется на единицу:
|
(12.30) |
Это условие называют правилом отбора для квантового гармонического осциллятора.
Из правила (12.30) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями ћω. Планк предполагал, что энергия гармонического осциллятора может быть лишь целой кратной ћω. В действительности же имеется еще нулевая энергия, существование которой было установлено только после создания квантовой механики.