12. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Коэффициенты отра-жения и прозрачности. Туннельный эффект.

Прохождение частиц через потенциальный барьер.

Туннельный эффект

Потенциальным барьером называют область пространств, в которой потенциальная энергия больше, чем в окружающих областях простран­ства.

П усть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U0 и ши­рины l (рис. 12.9). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера Е > U0, частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке 0 < х < l лишь уменьша­ется скорость частицы, но затем при х > l снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше U0 (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Рис. 12.9.

В случае Е < U0 уравнение (12.16) имеет вид

(12.31)

для областей I и III и

(12.32)

для области II, причем Е - U0 < 0.

Ищем решение уравнения (12.31) в виде ψ = ехр(λх). Подстановка этой функции в (12.31) приводит к характеристическому уравнению

Отсюда λ = ±iα, где

(12.33)

Таким образом, общее решение уравнения (12.31) имеет вид

(12.34)

Решив подстановкой ψ = ехр(λх) уравнение (12.32), получим общее решение этого уравнения в виде

(12.35)

Здесь

(12.36)

В квантовой механике принято, что решение вида ехр (iαx) соответствует волне, распространяющейся в положительном направле­нии оси х, а решение вида ехр (-iαx) — волне, распро­страняющейся в противоположном направлении.

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент B3 в выражении (12.34) для ψ3 следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция ψ. Для того чтобы ψ была не­прерывна во всей области изменений х от -∞ до +∞, должны выполняться условия ψ1(0) = ψ2(0) и ψ2(l) = ψ3(l). Для того чтобы ψ была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия ψ'1(0) = ψ'2(0) и ψ'2(l) = ψ'3(l). Из этих условий вытекают соотношения

(12.37)

Разделим все уравнения на А и введем обозначения:

а также

(12.38)

Тогда уравнения (12.37) примут вид

(12.39)

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн

определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн

(12.40)

определяет вероятность прохождения частицы через ба­рьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).

Нас бу­дет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением R + D = 1.

Умножим первое из уравнений (12.39) на i и сложим с третьим. В результате получим

(12.41)

Теперь умножим второе из уравнений (12.39) на i и вычтем его из четвертого. Получим

(12.42)

Решив совместно уравнения (12.41) и (12.42), найдем, что

Наконец, подставив найденные нами значения a2 и b2 во второе из уравнений (4.52), получим выражение для а3:

Величина

обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для а3 слагаемым, содержащим множи­тель ехр (-βl), можно пренебречь по сравнению со слагае­мым, содержащим множитель ехр (βl) (комплексные чис­ла n + i и n - i имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить

Согласно (12.40) квадрат модуля этой величины дает веро­ятность прохождения частицы через потенциальный ба­рьер. Учтя, что |п - i| = √(п2 + 1), получим

где (см. (12.38))

Выражение 16n2/(n2 + 1)2 имеет значение порядка единицы. Поэтому можно считать, что

(12.43)

Из полученного нами выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над Е, т. е. от Uо - Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы т.

Рассмотрим потенциальный барьер произвольной формы (рис. 12.10). В данном случае его можно приближенно представить в виде суммы узких прямоугольных барьеров.

Рис. 12.10.

Если потенциальный барьер произвольной формы удовлетворяет усло­виям так называемого квазиклассического при­ближения (достаточно гладкая форма кривой), то коэффициент прозрачности с достаточно хоро­шим приближением определяется формулой

(12.44)

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом б арьере (см. заштрихованную область на рис. 12.10), в связи с чем рассмотренное явление называют туннельным эффектом.

Качественный характер функций ψ1(x), ψ2(x) и ψ3(x) иллюстрируется на рис. 12.11, откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импуль­сом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплиту­дой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Туннельный эффект — специфиче­ски квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике (где такого в принципе не может быть). Этим эффектом объясняются многие физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

Рис. 12.11.

Объяснение фотоэффекта с точки зрения волновой и квантовой теорий.

Волновая теория не объясняет законы фотоэффекта.

В квантовой теории законы Столетова объясняются уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.

hν = Aв + (mV2max/2)

(выход электрона из металла + кинетическая энергия максимального выбитого электора)

eUЗ = mV2max/2 — тоже уравнение Эйнштейна

eUЗ — кинетическая энергия получаемая или отдаваемая электроном

hν = Aв + eUЗ

если hν < Aв — фотоэффект невозможен.

hνкр= Aв и hC/λкр = Aв - объясняет наличие «красной» границы.

Атом водорода в квантовой механике. Уравнение Шредингера для водородоподобного атома. Энергетические уровни и волновые функции - атомные орбитали. Квантовые числа электрона в атоме и их смысл. Распределение электронной плотности. Спектр атома водорода формула Бальмера. Правила отбора и интенсивность спектральных линий. Метастабильные уровни. Спектры излучения, поглощения, люминесценции. Применение атомной и молекулярной спектроскопии в химии.