41. Потенціальний характер електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу

Розглянемо поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом q у вакуумі (рис. 73). Нехай в електростатичному полі заряду q вздовж довільної траекторії з точки 1 в точку 2 переміщується інший точковий заряд під дією сили. Робота силина елементарному переміщенні дорівнює: Робота при переміщенні заряду з точки 1 в точку 2 дорівнює: Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим (1) і кінцевим (2) положенням заряду. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним, а електростатичні сили – консервативними. Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення по- тенціальної енергії, то Отже, потенціальна енергія заряду в полі заряду q у вакуумі дорівнює: Домовимось вважати потенціальну енергію заряду такою, що дорівнює нулю на нескінченно великій відстані від q. При r і . Тому потенціальна енергія заряду , що перебуває на відстані r від точкового заряду q, дорівнюєЯкщо заряди та q однойменні, то потенціальна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) додатна і зростає при зближенні цих зарядів (рис. 74). У випадку взаємного притягання різнойменних зарядів потенціальна енергія їхньої взаємодії від’ємна і зменшується при наближенні одного із зарядів до іншого.Потенціальна енергія заряду що перебуває в полі точкових зарядів , дорівнює сумі його потенціальних енергій у полях, що створюються кожним зарядом зокрема: де відстань від заряду до заряду . Величина , однакова для всіх зарядів в даній точці поля, називається потенціалом поля.Потенціалом будь-якої точки електростатичного поля називають фізичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку. Одиниця потенціалу – вольт. – це потенціал такої точки поля, в якій заряд в має потенціальну енергію в .Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює: Роботу, яку виконують електроста- тичні сили при переміщенні заряду від точки 1 до точки 2 електростатичного поля, можна записати так: ,де та – потенціали поля в точках 1 та 2. Якщо заряд з точки з потенціалом віддаляється в нескінченність , тоді робота сили поля буде дорівнювати . Звідси.

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил електростатичного поля) при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля. Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:.

Нехай маємо заряд q в електростатичному полі. Переміщаючи його в просторі, електричне поле виконає деяку роботу (розглядаємо для простоти переміщення вздовж осі ). Величина цієї роботи визначається за формулою

З іншого боку, робота при переміщенні заряду q в електростатичному полі виражається через потенціали цього поля . Отже, елементарна робота становитиме:

Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримаємо:

Знак “–“ означає, що під дією сил електричного поля заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей і;

Отже, ми знайшли та – компоненти вектора напруженості E:

Це рівняння можна переписати так: У векторному аналізі градієнтом скалярної величини називається така векторна величина, для якої справедливий запис:

Отже, Знак "–" вказує на те, що вектор напруженості поля напрямлений в бік найшвидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком. Знаючи потенціал в кожній точці поля, за формулою можемо обчислити напруженість в кожній точці