Задачі для самостійного розв'язання
1. Розкласти функцію в ряд Лорана.
а) ; б) ; в) ; г) .
2. Знайти особливі точки функції та вказати їх тип.
а) ; б) ; в) ; г) .
Лишки та їх застосування для обчислення інтегралів
При обчисленні інтегралів будемо застосовувати наступну теорему.
Теорема
Коші про лишки.
Якщо функція
аналітична на границі
області
та всюди всередині області, окрім
скінченого числа особливих точок
,
,
...,
,
то
.
(11)
Ми не приводимо тут визначення лишків, залишивши його за лекційним курсом. Розглянемо лише деякі практичні прийоми їх обчислення.
Спосіб обчислення лишок залежить від типу особливої точки. Тому, перш ніж обчислювати лишки, потрібно визначити тип особливості, інакше обчислення можуть виявитися невірними.
1)
Лишок функції дорівнює коефіцієнту при
мінус першій степені у Лоранівському
розкладанні
в околі точки
:
.
Це твердження вірно для всіх типів ізольованих особливих точок, і тому в цьому випадку визначати тип особливої точки не обов'язково.
2) Лишок в усувній особливій точці дорівнює нулю.
3)
Якщо
– полюс першого порядку, а функцію
можна подати у вигляді
,
де
,
але
,
то
.
(12)
Зокрема,
якщо
,
то
.
4) Якщо – полюс першого порядку, то
.
(13)
5)
Якщо
– полюс порядку
функції
,
то
.
(14)
Задача 9. Знайти лишки функції в її особливих точках.
а)
;
б)
.
Розв’язання.
а) Особливими точками заданої функції
є точки
,
.
Дослідимо точку
.
Оскільки у цій точці функція має скінчену
границю, а саме
,
то
точка
є усувною особливою точкою функції
,
а значить у відповідному ряді Лорана
відсутня головна частина. Це означає,
що
.
Тепер
дослідимо точку
.
Функцію
можна подати у вигляді
,
де
– аналітична у точці
.
Значить досліджувана точка є полюсом
другого порядку заданої функції.
Для знаходження лишка скористаємось формулою (13):
б) Особливою точкою функції є точка . Розкладемо функцію в ряд Лорана, використовуючи відоме розкладання
.
Маємо
.
Тепер
лишок можна знайти як коефіцієнт при
мінус першій степені
у цьому розкладанні, тобто
.
Задача 10. Обчислити інтеграли.
а)
;
б)
.
Розв’язання.
а) Особливими точками підінтегральної
функції є точки
,
.
Обидві ці точки лежать всередині кола
,
тому ми можемо скористатись формулою
(11):
Спочатку обчислимо лишок у точці . Для цього помітимо, що дана точка є полюсом першого порядку підінтегральної функції, тому для знаходження лишку можна скористатись або формулою (12), або (13). Використаємо, наприклад, (13):
.
Тепер обчислимо лишок у точці . Дана точка є полюсом другого порядку підінтегральної функції, відповідно за формулою (14) одержимо:
Остаточно маємо
.
б)
Особливими точками підінтегральної
функції є точки
,
.
Обидві ці точки лежать всередині кола
,
тому ми можемо скористатись формулою
(11):
Спочатку
обчислимо лишок у точці
.
Подамо підінтегральну функцію у вигляді
.
Тепер помітимо, що дана точка є полюсом
другого порядку підінтегральної функції,
тому для знаходження лишку можна
скористатись формулою (14):
.
Тепер обчислимо лишок у точці . Дана точка є полюсом першого порядку підінтегральної функції, відповідно ми можемо скористатись, наприклад, формулою (12):
Остаточно маємо
.