Задачі для самостійного розв'язання

1. Дослідити функції на диференційованість.

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Знайти аналітичну в околі точки функцію по відомій дійсній або уявній її частині та значенню .

а) ; б) ; в) ; г) .

Інтегрування функцій комплексної змінної

Нехай однозначна функція визначена та неперервна в області , та – кусочно-гладка замкнута або незамкнута орієнтована крива, що лежить в . Нехай, як зазвичай, , .

Обчислення інтеграла від функції комплексної змінної зводиться до обчислення звичайних криволінійних інтегралів, а саме,

. (6)

Якщо функція аналітична в однозв'язній області , що містить точки і , то має місце формула Ньютона-Лейбніца

, (7)

де – будь-яка первісна для функції , тобто в області .

В інтегралах від функцій комплексної змінної можна використовувати таблицю інтегралів, робити заміну змінної та інтегрування частинами аналогічно тому, як це робиться при обчисленні інтегралів від функцій дійсної змінної.

Помітимо також, що, якщо шлях інтегрування є частиною напівпрямої, що виходить із точки , або частиною кола із центром у точці , то корисно робити заміну змінної виду . У першому випадку , а – дійсна змінна інтегрування; у другому випадку , а – дійсна змінна інтегрування.

Задача 5. Обчислити інтеграли від функцій комплексної змінної.

а) по параболі від точки до точки ;

б) , де – частина кола , розташована у першій координатній чверті.

в) , де – пряма з , .

Розв’язання. а) Зобразимо контур інтегрування на рисунку (рис.3). Перепишемо підінтегральну функцію у вигляді:

.

Тоді . Використаємо формулу (6).

Оскільки , то , . Тому

Рис. 3

б) Зобразимо контур інтегрування на рисунку (рис.4). Позначимо , тоді . Одержимо:

Рис. 4

в) Зобразимо контур інтегрування на рисунку (рис.5). Оскільки підінтегральна функція аналітична (так як є поліномом), то використаємо формулу (7):

Рис.5

Для обчислення інтегралів по замкненому контуру зручно використовувати теорему Коші та інтегральну формулу Коші.

Теорема Коші. Нехай функція є аналітичною у замкненій багатозв'язній області , що зовні обмежена контуром , а зсередини контурами , ,..., . Тоді

. (8)

Інтегральна формула Коші. Для функції , що є аналітичною всередині замкненого кусочно-гладкого контуру та на самому контурі, мають місце формули:

, (9)

, (10)

де точка лежить всередині контуру , та напрям обходу контуру йде навпроти годинникової стрілки.

Задача 6. Обчислити інтеграли

а) ;

б) .

Розв’язання. а) Прирівняємо знаменник до нуля. Маємо:

Обидві точки та лежать всередині кола . Побудуємо два кола та вибираючи таким чином, щоб ці кола розташувались всередині кола та не перетинались (рис.6).

Рис.6

Тоді за теоремою Коші (формула (8)) маємо:

.

Тепер використаємо формулу (9), попередньо записавши підінтегральну функцію у зручному для цього вигляді:

де та . Далі маємо , . Тому остаточно одержимо

.

б) Зобразимо контур інтегрування на рисунку (рис.7).

Рис.7

Знаменник підінтегральної функції дорівнює нулю у двох точках та . Лише одна з цих точок, а саме , лежить всередині кола , тому ми можемо скористатись формулою (10).

,

де . Обчислимо похідну:

.

Значить

.