12) Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

Обмотки (катушки) электрических машин, трансформаторов, магнитных усилителей, электромагнитов, реле, контакторов, индукторов электрических нагревательных устройств и печей переменного тока обладают значительной индуктивностью. В радиотехнических устройствах индуктивные катушки используются для образования колебательных контуров, электрических фильтров и т. п. Параметрами катушек являются активное сопротивление r и индуктивность L. Изменяющийся во времени ток наводит в этих катушках ЭДС самоиндукции, которая по значению во многих случаях заметно больше, чем падение напряжения на активных сопротивлениях.

Рассмотрим вначале катушку, активное сопротивление которой настолько мало, что им можно пренебречь.

Для выяснения процессов, происходящих в цепи с индуктивностью (рис. 2.7, а), допустим, что ток в индуктивности изменяется синусоидально

(2.5)

i = Im sin ωt.

Рис. 2.7. Электрическая цепь, содержащая индуктивный элемент с индуктивностью L (а), ее векторная диаграмма (б) и графики мгновенных значенийu, i, p (в)

Ток вызывает в индуктивности ЭДС самоиндукции

(2.6)

eL = - Ldi/dt.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для данной цепи, имеет вид

(2.7)

eL = - и.

Выразив eL и i через их значения из (2.5) и (2.6). найдем напряжение на индуктивности:

u = L	dIm sin ωt	.
	dt

Выполнив операцию дифференцирования, получим

(2.8)

и = ωLIm cos ωt = ωLIm sin (ωt +	π	) = Um sin (ωt +	π	).
	2		2

Из сравнения выражений (2.5) и (2.8) можно сделать вывод, что ток в цепи с индуктивностью и напряжение на индуктивности изменяются по синусоиде, а напряжение опережает по фазе ток на угол 90°.

Векторная диаграмма цепи с индуктивностью изображена на рис. 2.7, б, а графики мгновенных значений тока и напряжения — на рис. 2.7, в.

Напряжение и ток в цепи с индуктивностью, как следует из выражения (2.8), связаны соотношением

Um = ωLIm ,

откуда

(2.9)

Im = Um /ωL

Разделив левую и правую части (2.9) на √2, получим закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью.

I =	U	=	U	.
	ωL		xL

где xL = ωL = 2πfL — индуктивное сопротивление, Ом.

Представив в (2.7) ЭДС самоиндукции и напряжение векторами, получим уравнение цепи в векторной форме для действующих значений

Ē = - Ū,

или после замены напряжения произведением тока и индуктивного сопротивления

Ē = - Īx‾L.

Таким образом, ЭДС самоиндукции может быть выражена через ток и индуктивное сопротивление. Такой способ выражения ЭДС во многих случаях значительно упрощает анализ цепей с индуктивностью.

Мгновенная мощность цепи с индуктивностью равна

р = ui = Im sin ωt • Um sin (ωt +	π	) =	UmIm	sin 2ωt = UI sin 2ωt =Pm sin 2ωt.
	2		2

Мгновенное значение мощности (рис. 2.7, в) изменяется синусоидально с частотой, в 2 раза большей частоты тока. Амплитудное значение мощности

Pm = UI.

Легко показать аналитически и из графика рис. 2.7, в, что среднее значение мощности за период (активная мощность) равно нулю:

	1 T	T
P =		∫	ui dt = 0.
		0

Для пояснения энергетических процессов в цепи с индуктивностью используем график рис. 2.7, в. В интервале времени от t = 0 (точка 1) до t= T/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до Im, электрическая энергия из сети поступает в индуктивность, преобразуется и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля.

Наибольшее значение энергии магнитного поля будет в момент времени, соответствующий точке 2, когда ток достигает амплитудного значения.

WL =	I2mL	.
	2

Можно показать, что эта энергия равна заштрихованной площади графика р = f(t) в интервале времени между точками 1 и 2 (отмечена знаком « + ». Действительно,

	T/4		T/4	UmIm sin 2ωt dt = UmIm | -cos2ωt|0T/4 = UmIm = Im2xL = Im2ωL = Im2L . 2 2 • 2ω 2ω 2ω 2ω 2
WL =	∫	ui dt =	∫
	0		0

В интервале времени между точками 2 и 3 ток в цепи убывает. Энергия магнитного поля преобразуется в электрическую энергию и возвращается в сеть. В момент времени, соответствующий точке 3, ток и энергия магнитного поля равны нулю.

Энергия, отданная в сеть, равна заштрихованной площади графика p = f(t) в интервале времени между точками 2 и 3 (отмечена знаком « - »). Из графиков рис. 2.7, в видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергию, равны. Следовательно, энергия, накопленная в магнитном поле индуктивности в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода в интервале времени между точками 3 и 4 изменяются направления тока и магнитного потока. Происходит процесс, аналогичный процессу в первую четверть периода: энергия из сети поступает в индуктивность и накапливается в ней в виде энергии магнитного поля. В последнюю четверть периода в интервале времени между точками 4и 5 энергия магнитного поля возвращается в сеть.

Таким образом, в цепи с индуктивностью происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью (источником энергии) и индуктивностью.

14) Цепь синусоидального тока с последовательным соединением RLC 

Условие:

XL = Xc

I = U / Zr  (I и U вверху с точками)

Zc = r - j (XL- Xc)= r

I=U/r=max (I и U сверху с точками)

Ограничение тока активным сопротивлением

UL=Uc и U = Ua

Максимальны (резонанс напряжений)

Uc UL

φ=0 Ua

активный характер

U = Ua

U = √Ua2 + (UL - Uc)2= Ua

Резонанс напряжений возможен в неразветвленной цепи с индуктивным L, емкостным С и резистивным г элементами, т. е. в последова­тельном колебательном контуре.

По закону Ома комплексное значение тока в контуре i=I==

где Z - комплексное сопротивление контура;z - полное сопротивление контура;

— угол сдвига фаз между напряжением и током, т. е. аргумент комплексного сопро­тивления;

I -  действующее значение тока.

Если угловая частота со напряжения и тока равна l/, то индуктивное и емкостное сопротивления элементов одинаковы. При этом аргумент φ комплексного сопротивления контура равен нулю, , полное сопротив­ление цепи минимальное: г = z и действующее значение тока при заданном напря­жении наибольшее: I= U/r.

Режим неразветвленной цепи, содержащей индуктивный, емкостный и резистивный элементы последовательного контура,ток и напряжение совпадают по фазе, называется резонансом напряжений.

При резонансе напряжений действующие значения, а значит и амплитуды, напряжений на индуктивном й емкостном элементах одинаковы, а фазы противо­положны. Поэтому напряжение источника U равно напряжению на резистивном элементе.

Угловая частота, при которой наблюдается резонанс напряжений, называется резонансной:

Если сопротивление т резистивного элемента мало, то при резонансе напря­жений ток. в цепи резко возрастает по сравнению со значениями тока при частоте, отличной от ωрез. Одновременно, что особенно существенно, напряжения на емкост­ном и индуктивном элементах могут (и во много раз) превысить напряжение пита­ния U.

Подставив значение ωрез в последнее неравенство, получим условие превыше­ния в виде >r

Величина ρ =  = cope3L имеет размерность сопротивления и называется характеристическим сопротивлениемколебательного контура. Отно­шение характеристического сопротивления к сопротивлению резистивного элемента определяет резонансные свойства колебательного контура и называется доброт­ностью контура:

Q=ρ/r.

Добротность контура равна отношению (при резонансе) реактивной мощности индуктивного QL или емкостного Qc элемента к активной мощности резистивного элемента. Физическая причина возникновения повышенных напряжений — это колеба­ния значительной энергии, запасаемой попеременно в электрическом поле емкост­ного и в магнитном поле индуктивного элементов. Формально аналогичные коле­бания энергии могут быть и в механической системе, обладающей массой и упру­гостью. Простейшим примером служит ядро, подвешенное на пружинах. В механической колебательной системе энергия периодически переходит из кине­тической (энергия движущегося тела) в потенциальную (энергия сил упругости) и обратно. Если в системе не слишком велики силы трения, то для поддержания ее незатухающих периодических колебаний достаточно добавлять периодически в такт с ее колебаниями небольшие количества энергии для покрытия потерь энер­гии в системе из-за трения. При этом сила толчков извне может быть во много раз меньше сил инерции и упругости, действующих внутри системы. Следовательно, энергия, поступающая извне для покрытия Потерь, тоже может быть мала по срав­нению с энергией колебаний.

15) 21. Цепь переменного тока с параллельным соединением 

I(a1) Ua1 I1

I2 I(a2)

Ua2

φ φ

Iр(L) Iр(С)

XL = Xc

Имеем:

bL = bc (проводимость)

IL= Ic= I1p = I2p — max

Признак:

(W I2) / 2 = (W U2) / 2

Колеблется внутри контура (в идеале) не выходя за пределы, а так как r = 0 никуда не расходуется. Ток в общей цепи равен нулю (0), а в реальном контуре расходуется энергия на активном сопротивлении и расходуемая часть пополняется источником I стремится к нулю — min.

Свойство: имеем резонанс токов.

Имеем резонанс токов с переводом цепи в индуктивный или емкостной режимы.

В цепи, схема которой содержит параллельно соединенные индуктивный, емкостный и резистивный элементы, т. е.параллельный контур может возникнуть резонанс токов.

При заданном напряжении питания  общий ток

i=Y  =— комплексная проводимость параллельного контура; где Y - полная проводимость контура.

При угловой частоте ωрез = l/ индуктивная bL == 1/ωL и емкостная Ьc = С проводимости параллельных ветвей одинаковые, аргумент комплексной проводимости цепи — φ равен нулю, полная проводимость контура минимальна: у = g и общий ток минимальный: Iрез = gU.

Режим параллельного контура, при котором сдвиг фаз между напряжением и общим током равен нулю, называетсярезонансом токов.

При резонансе действующие значения токов в индуктивном и емкостном эле­ментах одинаковые, а сдвиг фаз между токами равен π, так как ток в индуктивном элементе отстает от напряжения по фазе на угол л/2, а ток в емкостном элементе опережает напряжение на такой же угол π/2).

На рис. 2.49 показаны резонансные кривые параллельного контура. В емкост­ном элементе ток Iс возрастает пропорционально угловой частоте, в индук­тивном элементе ток lL обратно пропорционален угловой частоте, в резистивном элементе ток lr — U/r от угловой частоты не зависит. Точка пересечения кривых /с(ω) и JL (ω) соответствует резонансу токов, при котором I=Ir.

Если проводимость g резистивного элемента равна нулю, то и полная проводимость у цепи при резонансе равна нулю и общий ток иде­ального параллельного контура (ток источника) равен нулю, что эквивалентно размыканию цепи.

Последовательно с индуктивным элементом L может быть включен резистивный элемент rL, а последовательно с емкостным элементом С — резистивный элемент гс учитывающие, например, потери энергии в проводах. Условием резонанса токов в такой цепи будет равенство индуктивной и емкостной проводимостей этих ветвей.

И в этом случае при резонансе общий ток совпадает по фазе с напряжением. Отметим, что резонанс токов в отличие от резонанса напряжений — явление безопасное для электроэнергетических установок. Большие токи в ветвях при ре­зонансе токов возникают лишь в случае больших реактивных проводимостях ветвей, т. е. больших емкостей конденсаторов и малых индуктивностей катушек. Ничего неожиданного здесь нет, так как токи в обеих ветвях взаимно независимы и их зна­чения определяются (на основании закона Ома) приложенным напряжением.

16) Резонанс напряжений - резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает ссобственной частотой контура. Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний f, и пусть внутри него работает генератор переменного тока такой же частоты f.

В начальный момент конденсатор контура разряжен, генератор не работает. После включения напряжение на генераторе начинает возрастать, заряжая конденсатор. Катушка в первое мгновение не пропускает ток из-за ЭДС самоиндукции. Напряжение на генераторе достигает максимума, заряжая до такого же напряжения конденсатор.

Далее: конденсатор начинает разряжаться на катушку. Напряжение на нем падает с такой же скоростью, с какой уменьшается напряжение на генераторе.

Далее: конденсатор разряжен до нуля, вся энергия электрического поля, имевшаяся в конденсаторе, перешла в энергию магнитного поля катушки. На клеммах генератора в этот момент напряжение нулевое.

Далее: так как магнитное поле не может существовать стационарно, оно начинает уменьшаться, пересекая витки катушки в обратном направлении. На выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе противоположного знака, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор.

Далее: катушка перезарядила конденсатор до максимального напряжения. Напряжение на генераторе к этому моменту тоже достигло максимального.

Возникла следующая ситуация. Конденсатор и генератор соединены последовательно и на обоих напряжение, равное напряжению генератора. При последовательном соединении источников питания их напряжения складываются.

Следовательно, в следующем полупериоде на катушку пойдет удвоенное напряжение (и от генератора, и от конденсатора), и колебания в контуре будут происходить при удвоенном напряжении на катушке.

В контурах с низкой добротностью напряжение на катушке будет ниже удвоенного, так как часть энергии будет рассеиваться (на излучение, на нагрев) и энергия конденсатора не перейдет полностью в энергию катушки). Соединены как бы последовательно генератор и часть конденсатора.

17) Резонанс токов — резонанс, происходящий в параллельном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает с собственной частотой контура. Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний a, и пусть он подключен к генератору переменного тока такой же частоты f.

В момент подключения конденсатор заряжается от источника. После чего он начинает разряжаться на катушку, причем разряжается с такой же скоростью, с какой убывает напряжение на генераторе. Через некоторое время энергия конденсатора полностью переходит в энергию магнитного поля катушки. Напряжение на клеммах генератора в этот момент равно нулю.

Далее магнитное поле катушки начинает убывать, так как не может существовать стационарно — на выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор. Но ток от генератора не может течь через колебательный контур — как только на клеммах генератора появляется напряжение, точно такое же напряжение появляется на выводах конденсатора вследствие перезаряда его катушкой. Напряжения конденсатора и генератора друг друга компенсируют.

Далее энергия магнитного поля катушки полностью переходит в энергию электрического поля конденсатора. Напряжение генератора в этот момент достигает максимума. Далее конденсатор разряжается на катушку, цикл повторяется в обратном направлении. В результате, в колебательном контуре циркулируют весьма большие токи, но за его пределы не выходят — выходить им мешает точно такое же, только противоположно направленное напряжение на генераторе. Большой ток от генератора течет через контур только короткое время после включения, когда заряжается конденсатор. Далее генератор работает почти вхолостую — как только на его клеммах появляется напряжение, точно такое же противоположно направленное напряжение появляется на конденсаторе и не пропускает ток от внешнего источника через контур.

Вышесказанное справедливо для контура с очень хорошей добротностью (низкими потерями энергии за цикл).

Ситуация изменится, если отбирать от контура во время его работы некоторую мощность. Тогда за цикл часть энергии контура будет теряться и конденсатор будет перезаряжаться контурной катушкой до меньшего напряжения, чем напряжение внешнего генератора. В этом случае генератор будет дозаряжать конденсатор, компенсируя таким образом потери за цикл. Через контур потечет переменный ток, который, однако, может быть меньше того, что циркулирует в самом контуре.

18.)Понятие о символичном методе .Комплексное сопротивление и проводимость. Законы Ома и Кирхгофа

В комплексной форме.

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся  ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.

Комплексные сопротивление и проводимость участка цепи

Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, имеющий два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рис. 3.2, а). Ток    и напряжение   на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени:

   (3.12)

 

 (3.13)

По определению, комплексным сопротивлением   пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

   (3.14)

Выражая комплексные амплитуды напряжения и тока через соответствующие комплексные действующие значения     устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:

   (3.15)

Комплексное входное сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной

   (3.16)

или алгебраической

   (3.17)

формах. Величины   и   называются соответственно модулем и аргументом комплексного сопротивления, величины   и   – его вещественной (резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи    называется также полным входным сопротивлением). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, находим из (3.14) и (3.15)

   (3.18)

Сравнивая (2.16) и (2.18), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления   равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:

   (3.19)

а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока:

   (3.20)

Общая методика решения системы динамических уравнений

Система динамических уравнений представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Эту систему уравнений всегда можно свести к одному дифференциальному уравнению n-ого порядка, где n - количество накопителей энергии в цепи. Из курса математики известно, что решение такого уравнения ищется в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Вид последнего решения зависит от числа и вида корней характеристического уравнения, составленного по полученному однородному дифференциальному уравнению. Возникающие в результате решения постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которыми служат значения токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах, а также их производных в момент времени t=0.

Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:

По первому закону Кирхгофа,  алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Равенство не нарушится, если вместо токов подставить соответствующие комплексы.  Это и будет выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

где - количество ветвей, подходящих к узлу.

По второму закону Кирхгофа, в любом (замкнутом) контуре справедливо равенство алгебраических сумм мгновенных значений напряжений на сопротивлениях контура и ЭДС:

Заменив напряжения и ЭДС на соответствующие комплексы, получим выражение для второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

где  - количество элементов в контуре,

- количество ЭДС в контуре.

Пример:

19.)Расчет простых цепей синусоидального тока символическим методом.