48.Перемещения сечений при деформациях изгибаемых стержней

При деформациях изгиба стержня (балки) происходят в основном два перемещения поперечных сечений:

- линейное перемещение в направлении, перпендикулярном продольной оси стержня, обычно называемое прогибом ;

- угловое перемещение (угол поворота сечения) .

Соотношение между функциями угла поворота и прогиба сечения при деформации прямого плоского изгиба стержня:

.

Приближенное выражение кривизны К (единицы измерения – 1/м) деформированной оси элемента конструкции (балки) при прямом плоском изгибе

,

где ρ – радиус кривизны деформированной оси элемента конструкции;

M_и(z) – функция от z внутренних изгибающих моментов в сечениях изгибаемого элемента конструкции (z – координата сечения, ориентированная вдоль центральной оси элемента конструкции).

Дифференциальное уравнение плоской кривой, известное из курса аналитической геометрии,

(приближенное выражение приемлемо для большинства изгибаемых элементов конструкций, например для реальных балок, у которых кривизна деформации имеет малые значения; для изгибаемых элементов с большой кривизной деформации разработана специальная теория расчета, основанная на точном выражении кривизны).

Дифференциальное уравнение деформированной центральной оси изгибаемого элемента конструкции при прямом плоском изгибе:

,

где E∙I_x – параметр жесткости изгибаемого элемента конструкции при прямом плоском изгибе (единицы измерения – Н∙м², кН∙м² и т.п.).

Интегрируя дифференциальное уравнение деформированной оси изгибаемого элемента конструкции 1-й раз, получаем выражение для угла поворота сечений

,

где – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий, т.е. есть угол поворота сечения, совпадающего с началом координат системы voz.

Интегрируя дифференциальное уравнение 2-й раз, получаем выражение для прогиба сечений

,

где – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий, т.е. есть прогиб сечения, совпадающего с началом координат системы voz.

Расчетные значения перемещений сечений при изгибе можно определить методом перемещений.

Обобщенное выражение функции внутренних изгибающих моментов в расчетном сечении стержня, записанное по методу начальных параметров:

.

Обобщенное выражение функции углов поворота расчетного сечения стержня с координатой z, применяемое для расчетов перемещений сечений по методу начальных параметров:

.

Обобщенное выражение функции прогибов расчетного сечения стержня с координатой z, применяемое для расчетов перемещений сечений по методу начальных параметров:

В трех вышеприведенных выражениях:

- θ_o и v_o – начальные параметры, т.е. соответственно угол поворота и прогиб сечения стержня, расположенного в начале координат О (на левом конце стержня);

- z – координата сечения, для которого рассчитываются перемещения θ_и и v (угол поворота и прогиб сечения);

- M_i, F_i, q_i – алгебраические значения внешних силовых факторов, приложенных к стержню (балке) соответственно на расстояниях a_i, b_i, c_i, n_i от начала координат o, см. обобщенную схему метода начальных параметров;

- - параметр изгибной жесткости изгибаемого стержня ( , ).