Билет №1

Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

• Тело отсчета;

• Систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);

• Прибор для измерения времени (Часы).

Положение точки определяется набором обобщенных координат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела.

Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным.

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1). Н а этой траектории выбирается некоторая точка  , принимаемая за начало от­счета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты  , определяющей положение точки на траектории. При движе­нии точки расстояние    будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую коор­динату    как функцию времени:

 

. (2.1)

 

Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории.

Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции  .

П ри векторном способе задания движения точки положение точки    определя­ется величиной и направлением радиуса-вектора  , проведенного из неподвиж­ного центра    в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор    изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы оп­ределить положе­ние точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор    как функцию времени:

 

. (2.2)

 

Это равенство называется векторным уравнением движения точки.

Способы задания движения в прямоугольной системе координат

П ри координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты  ,  ,    как функции времени:

 

;   ;   . (2.3) 

Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных де­картовых координатах. Движение точки в плоскости определяется двумя уравне­ниями системы (2.3), прямолиней­ное дви­жение — одним.

Билет 4

1.1.Кинематика вращательного движения.

 

Движение тела может быть как поступательным так и вращательным. В этом случае тело представляется в виде системы жестко связанных между собой материальных точек.

     При поступательном движение любая прямая, проведенная в теле , перемещается  параллельно самой се­бе. По форме траектории поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают равные по величине и направлению перемещения (Рис1). Следовательно, скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы.

Для описания поступательного движения

достаточно определить движение одной

 точки.

Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при  котором все точки тела движутся _по окружностям, центры которых лежат на одной прямой (ось вращения)(Рис2).

Ось вращения может проходить через тело или лежать за его пределами. Если ось вращения проходит сквозь тело, то точки, лежа­щие на оси, при вращении тела остаются в покое.  Точки твёрдого тела, находящиеся на разных расстояниях от оси вращения за одинаковые промежутки времени проходят различные расстояния и следовательно имеют различные линейные скорости (Рис.2).

 

При вращении тела вокруг неподвижной оси  точки тела за один и тот же промежуток  времени  совершают одно и тоже угловое перемещение   (Рис.3). Модуль   равен углу   поворота тела вокруг оси за время  , направления вектора углового перемещения  с направлением вращения тела связано правилом винта: если совместить направления вращения винта с направлением вращения тела, то вектор   будет совпадать с поступательным движением винта. Вектор   направлен вдоль оси вращения.

Быстроту изменения углового перемещения                                                                                                                                                                                                                                       определяетугловая скорость - ω. По  аналогии с линейной скоростью вводят понятия средней и  мгновенной угловой скорости:                                                                             

 

        

 

                  

 

Угловая скорость - величина векторная.

   Быстроту изменения угловой   скорости   характеризует среднее и мгновенное

Угловое ускорение.

                                             

 

                          

 

Вектор  и может совпадать с вектором  , и быть про­тивоположным ему (Рис.4б, в.)

Угловое перемещение  , угловая скорость   и угловое ускорение   для различных моментов времени  t определяется  по

формулам :          

                                                                               

     

 

где   - угловая скорость в данный момент                                                            времени  t ; - начальная угловая скорость, при  t=0.

  В системе СИ угловое перемещение измеряется в радианах (рад.), угловая скорость  - в (рад /с),

угловое ускорение    - в (рад /с²).

     

Равномерное движение по окружности    характеризуется периодом  Т и частотой вращения

Период вращения Т - это промежуток времени, в течение кото­рого тело совер-шает один оборот. Угловое перемещение за время Т равно 2. Следовательно,

 

                           ,   

                                         

Частота вращения  –это физическая   величина ,равная числу оборотов, совершаемых за единицу времени.

Билет 6

Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.

Разложение движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

 

                   

 

Рис.28                                                             Рис.29

 

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy, параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движе­нии все точки тела, лежащие на прямой ММ’, перпендикулярной течению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела дос­таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху.

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты   и    точки А и угол  , который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины   и   и   будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

.

Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твер­дого тела.

Первые два из уравнений движения  определяют то движение, которое фигура совершала бы при  =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А.  Третье уравнение определяет движе­ние, которое фигура совершала бы при   и   , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фи­гуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из по­ступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматривае­мого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса  ,   , а также угловая скорость   и угловое ускорение   враща­тельного движения вокруг полюса.