Теорема 3.

Сумма вероятностей случайных событий A₁, A₂..., образующих полную группу, всегда равна 1.

P(A₁) + P(A₂) ... + P(A_n)= 1

Определение: Если полную группу образуют два случайных события, то они называются противоположными.

A - "случайное событие"

- "противоположное событие"

Замечание 1. Вероятность суммы противоположных событий равна 1.

Замечание 2. Вероятность того, что выполнится хотя бы одно из случайных событий равна 1 минус вероятность того, что не выполнится ни одно из рассматриваемых событий.

хотя бы одно ни одного

Пример:

Ремонтное ателье обслуживает 5 клиентов. Вероятность вызова на обслуживание от каждого клиента равна 0,2. Какова вероятность того, что в данный момент ателье занято обслуживанием клиентов?

Решение.

Основы комбинаторики

Комбинаторика - раздел математики, объектом которого являются дискретные множества произвольной природы.

Комбинаторным является всё, что перечисляемо.

Основной задачей комбинаторики является определение числа комбинаций, которые могут быть составлены из элементов определённого множества.

Совокупности

Подмножества Выборка

Упорядоченные	Неупорядоченные	Упорядоченные	Неупорядоченные

Подмножества - если все разные

Выборка - если повторяются

Упорядочен. - если важен порядок

Неупорядочен. - если не важен порядок

1. Пусть a₁, a₂... a_n - элементы некоторого множества A. Тогда произвольная последовательность <a₁, a₂, ..., a_n>, где a_i принадлежат множеству A, называется выборкой, при чём каждый элемент выборки может повторяться произвольное число раз.

2. Если все элементы выборки различны, то такая выборка называется подмножеством.

3. Если при перемене местами двух элементов свойства выборки изменяются, такая выборка называется упорядоченной. В противном случае - неупорядоченной.

4. Число упорядоченных m-подмножеств n-множеств называется размещением из n по m, обозначается буквой .

Факториал:

n! = 1*2*3*...*n

5! = 1*2*3*4*5

1! = 1

0! = 1

Пример.

Сколько слов, состоящих из 4 различных букв, можно составить из этих 6 букв (A, B, C, D, E, F)?

Решение.

5. Размещение из n по n называется перестановкой и обозначается P_n и находится по формуле n!

Пример:

Сколько вариантов расположения слов допускает предложение: "Редактор вчера внимательно прочитал рукопись"?

6. Число неупорядоченных m-подможенств n-множеств называется сочетанием из n по m.

Пример:

Читатель отобрал по каталогу 8 книг. В библиотеке выдают не более 5 книг. Сколько альтернатив взять книги есть у этого читателя?

7. Число упорядоченных m-выборок n-множеств называется размещением с повторениями.

Пример:

Сколько всего телефонных номеров можно иметь, если номер состоит из 6 цифр?

Пример:

Сколько различных слов можно составить, переставляя буква в слове "перепел"?

8. Число неупорядоченных m-выборок n-множеств называется сочетание с повторениями.

Пример:

Домино.

Задачи

1. Абонент забыл последние 3 цифры номера. Они различны. Какое число вариантов?

2. Требуется составить колонну из 5 машин. Сколько вариантов?

3. Сколькими способами можно расставить 2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля?

4. Студенческая группа состоит из 25 человек. Нужно выбрать 3 делегатов на конференцию. Сколько способов существует?

5. В буфете существует 4 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?