Целевая функция

Функция (4.1) при ограничении (4.2) определяется с использованием правила Лагранжа и получает вид¹:

F = P_iX_i + P_iX_i, (4.3)

где F =

X_i — приращение объема производства i-го продукта;

P_i — приращение цены равновесия i-го продукта;

 — множитель Лагранжа — постоянная величина.

Максимум F есть в то же время и максимум U. Стало быть задача оптимизации структуры продукта по критерию максимума прироста уровня удовлетворения потребностей в рамках ограниченных ресурсов платежа получает исчерпывающую качественную и количественную определенность, хотя какие-либо способы измерения самого уровня или его прироста неизвестны.

Правая часть целевой функции (4.3) свидетельствует, что приращение ее значения определяется: а) приростом предложения продуктов X_i по ценам P_i и б) изменением цены равновесия P_i продукта X_i.

Если проинтегрировать F, то получим:

F = P_iX_i + C (4.4)

где С — постоянная.

Тогда на основании (4.2) и (4.4)

F(t)=F(t+1) –F(t+1) P_i (t+1)X_i (t+1) – P_i (t)X_i (t) =

= S(t+1) – S(t).

Таким образом, при неизменном ресурсе платежа, т.е. при S(t+1) = S(t), для любых значений X имеем F(t) = 0, т.е. потребительная стоимость различных натуральных продуктов одна и та же, если в качестве ее количественной меры принимаются неизменные ресурсы платежа.

Выход состоит в измерении состояния в различные моменты времени в единых ценах, как и положено при анализе динамики любых показателей, с приведением цен к единому масштабу.

Тогда (4.4) преобразуется в

F(t) = · P_i (t+1)(x_i (t+1) – (x_i (t)).

В выражении (4.5) параметры S(t), S(t+1), x_i(t) — исходные данные, P_i (t+1) однозначно определяются значениями x_i (t+1). При этом, если x_i (t+1) > x_i (t), то P_i = (t+1) – P_i(t) < < 0. Таким образом максимизация функции F определяется изменениями x_i(t). Их рост ограничен производственными

ресурсами V (см. 4.2). Строим функцию Лагранжа:

Z(x,) = F(t) +  (V Z_i x_i (t+1)),

где Z_i — затраты ресурсов на производство единицы i-го продукта.

Определив ее частные производные и приравняв их нулю, получим, что оптимальная точка, где F = max, достигается при условии:

= = const для i = 1, . . . , n.

где Z_i — затраты ресурсов на производство единицы i-го продукта.

При построении цен производства Ц на основе принципов, изложенных в разделе,

Z_i = Ц (4.5)

4.2. Капитальные затраты на развитие производства Двойственность задачи капитальных затрат

Общий ресурс капитальных затрат — V_k делится на затраты V предназначенные для увеличения производственных мощностей, и V , предназначенные для обновления производственных мощностей с целью экономии текущих затрат.

V_k = V + V .

Чем больше создается дополнительных производственных мощностей, тем больше для их использования требуется ресурсов текущих затрат, и наоборот, чем больше экономия ресурсов текущих затрат, тем больше требуется новых производственных мощностей для превращения экономии в дополнительную потребительную стоимость.

Предназначение затрат V — обеспечение производственными мощностями пропорционального развития всего народного хозяйства в соответствии с требованиями научно-технического прогресса и структуры конечного продукта внешнего назначения. Такие показатели, как затраты на еди-ницу прироста и затраты на единицу производства продукции, служат здесь лишь основой для выбора наиболее эффек-тивных вариантов пропорционального развития отраслей.

Предназначение затрат V — экономия ресурсов текущих затрат независимо от того, при производстве какого продукта она достигается.

Очевидно, что при переходе с одного технологического способа производства на другой требования в части структуры и объемов поставок изменяются. Поставщики в свою очередь предъявляют новые требования ко всем своим поставщикам.

Если единовременные затраты V обеспечивают удовлетворение требований пропорционального развития народного хозяйства, то затраты V диктуют (наряду с внешним потребителем) эти требования, оказывая непосредственное влияние на соотношение тех и других затрат в их общем объеме.

Объем капитальных затрат, предназначенных для обеспечения пропорционального развития,

V = (K^v· X^m) ,

где K^v = (K ), i = 1,...,n — вектор удельных капитальных затрат на единицу прироста i–х производственных мощностей;

X^m = (X ), i = 1,...,n — вектор прироста производственных мощностей

X =

где X_i = X_i(t+1) – X_i(t) — изменение объема производства i-го продукта в периоде t+1 относительно равного периода t (года).

Объем капитальных затрат, предназначенных для замены действующих мощностей новыми более эффективными

V = (K^V, · X^H),

где X^H = (X ), i = 1,...n — вектор объемов i-х продуктов, производимых в периоде t+1 новыми производственными мощностями вместо выбывших.

Критерием эффективности затрат V является максимум приращения конечного продукта X(t+1) в оптимальной структуре. Этот максимум ограничивается не только объемом затрат V , результатом которых являются приросты в периоде t+1 производственных мощностей, но и ресурсами текущих затрат, которые в периоде t (как и в любом другом) должны использоваться полностью. Поэтому критерием эффективности затрат V является экономия текущих затрат (Э) на единицу капитальных.

В целом на объем V

Е = max,

где   Е — коэффициент эффективности единовременных затрат;

Э = ((С^в — С^н)  X^н), (4.6)

где С^в = (С ), i = 1,...n — текущие затраты на единицу продукции i-ой отрасли в ценах периода t, производимой технологическими способами производства, заменяемыми в периоде t+1 новыми;

С^н = (С ), i = 1,...,n — текущие затраты на единицу продукции i-ой отрасли в ценах периода t, производимой в периоде t+1 новыми технологическими способами производства;

X^Н = (X ), i = 1,..., n — объемы производства продукции i-х отраслей в периоде t+1 c затратами С на единицу.

При производстве в периоде t+1 i-го продукта новым способом производства в объеме X текущие затраты в i-ой отрасли относительно периода t уменьшаются на сумму (С  — С )  X и увеличиваются на величину С  X , если X  > 0, либо уменьшаются на C  X_i, если X_i < 0.

При производстве продукта X(t+1) c текущими затратами на единицу периода t потребовалось бы текущих затрат больше на величину Э = ((С  — С ), X ). Это эквивалентно тому, что ресурс текущих затрат в периоде t+1 возрастает относительно периода t не только на величину экстенсивного прироста — V_Т, но и на величину Э.

Таким образом, ресурс текущих затрат в периоде t+1 относительно t составит

V^Т(t+1) = V^Т(t) + V^Т + Э

В соответствии с этим корректируется объем производства конечного продукта, заданный потребителем:

X(t+1) =  (t+1) (4.7)

где X(t+1) = (X_i(t+1)) — конечный продукт периода t+1.

(t+1) = ( (t+1)) — конечный продукт, требуемый на период t+1 потребителем в оптимальном по его оценкам объеме и структуре.

 — коэффициент, приводящий конечный продукт к структуре, требуемой потребителем – X(t+1), в соответствие с ресурсами текущих затрат периода t+1.

 = . (4.8)

где V_i = (С(t) (t+1)),

С(t)=(С_i(t)), i = 1,...,n — текущие затраты периода t.

Из (4.8) следует , что чем больше Э, тем больше значение , а стало быть и объем X(t+1) (см.(4.7)). Но Э зависит от X^н (см.(4.6), а X = X(t+1)–X(t) требует прироста мощностей X^m. При этом приросты X^н и X^m ограничены общими ресурсами капитальных затрат. Последние, как и общественные ресурсы текущих затрат, подлежат полному использованию. Поэтому весь ресурс V целесообразно направить в одну точку: туда, где Е_i = max Е. Однако замена одного технологического способа производства другим не может превышать объема производства продукции, производимой в периоде t+1 заменяемым способом производства. Поэтому, если ресурс V не исчерпан при полном обновлении производства продукта в той отрасли, где Е_i = max Е, то нужно переходить к следующей отрасли, выбранной по тому же критерию.

Для описания этого процесса и с целью упрощения математической формализации процесса оптимального распределения ограниченного ресурса единовременных затрат между отраслями, все отрасли (а в более общем случае все подлежащие замене технологические способы производства во всех отраслях) ранжируются в порядке убывающего значения Е_i, т.е. присваиваются им индексы так, чтобы Е₁ = = max Е; Е_i–1  Е_i  Е_i+1, i = 1,...,n. Тогда можно записать:

где

    X₀K₀ = 0.

Продукт с X  = A_i представляет собой «граничный» продукт, на котором исчерпывается весь ресурс V . Этому продукту присваивается индекс i = r. Символ X_i вводится в связи с тем, что сокращение объема производства продуктов замещаемым способом производства не может превышать самого объема производства. Символ A_i представляет собой остаток ресурса V после обновления производства в отраслях i = 1,...i–1.