4.2. Qrin düsturları. Harmonik funksiyaların bəzi xassələri və sərhəd məsələlərinin həllinin yeganəliyi

Harmonik funksiyaların xassələrini və ümumiyyətlə, elliptik tipli tənliklər üçün sərhəd məsələlərinin həllərini öyrənərkən Qrin düsturlarından istifadə olunur.

Tutaq ki, və oblastında kəsilməz, -də I və II tərtib kəsilməz xüsusi törəmələri olan funksiyalar­dır. Onda

(4.23)

burada

.

(4.23)-ə Qrinin I düsturu deyilir.

-dən -nu çıxsaq, alınan

(4.24)

bərabərliyinə Qrinin II düsturu deyilir. Birölçülü halda II Qrin düsturu

şəklində olar.

Qrinin II düsturunda xüsusi halda , funksiyası isə tənliyinin həlli olarsa,

(4.25)

alınar.

(4.25) düsturundan belə bir nəticə çıxır ki,

tənliyi üçün ikinci

, (4.26)

, (4.27)

sərhəd məsələsinin yalnız

(4.28)

şərti ödənildikdə həlli vardır. xüsusi halda, əgər , yə­ni harmonik funksiya olarsa, (4.26) – (4.27) məsə­ləsinin həllinin varlığı üçün funksiyası

(4.29)

şərtini ödəməlidir. (4.28) və (4.29) ifadələrinin fiziki izahını vermək olar. Tutaq ki, - stasionar temperaturun paylan­ması, - istilikkeçirmə əmsalıdır. onda (4.28) ifadəsi aşa­ğı­dakı fiziki faktı ifadə edir: Temperatur paylanmasının stasionar olması üçün D oblastında zaman müddətində daxili istilik mənbələrinin təsirindən yaranan istilik miqdarı bu zaman müd­dətində S səthindən çıxan istilik selinə bərabər olmalıdır. (4.29) ifadəsi isə onu göstərir ki, əgər D oblastında mənbələr yox­dursa, stasionar temperatur paylanmasının olması üçün S sət­hindən keçən istilik seli sıfra bərabər olmalıdır, yəni S səthi ətraf mühitdən izolə edilməlidir.

Harmonik funksiyaların iki mühüm xassəsini qeyd edək.

Orta qiymət teoremi. hər hansı D oblastında harmonik funksiya, M₀ isə həmin oblastın daxilində yerləşən hər hansı nöqtədirsə, onda

, (4.30)

burada - mərkəzi nöqtəsində olan R radiuslu və bütün­lüklə D oblastında yerləşən sferadır.

Bu teorem göstərir ki, harmonik funksiyanın hər hansı nöq­tədəki qiyməti, bu funksiyanın harmoniklik oblastında yer­ləşən, mərkəzi nöqtəsində olan istənilən sferası üzə­rin­də aldığı orta qiymətə bərabərdir.

İki sərbəst dəyişənli funksiya üçün də oxşar teorem doğrudur:

, (4.31)

burada mərkəzi nöqtəsində olan R radiuslu çevrədir.

Tərs teorem. Əgər bütünlüklə D oblastında yerləşən mər­kə­zi nöqtəsində və radiusu R olan ixtiyari sferası üçün (4.30) münasibəti doğrudursa, onda D oblastında har­mo­nik funksiyadır.

Ən böyük və ən kiçik qiymətlər haqqında teorem (mak­si­mal və minimal qiymət prinsipi). Qapalı oblas­tında kəsilməz və D-də harmonik funksiya özünün ən böyük və ən kiçik qiymətlərini S sərhəddi üzərində alır.

Teoremlərin isbatları müvafiq ədəbiyyatlarda verilmişdir ([1],[2]).

Nəticə. D oblastında harmonik funk­si­yasının bu oblastın daxilində lokal ekstremumları ola bilməz.

Maksimal qiymət prinsipindən tənliyi üçün birinci daxili sərhəd məsələsinin yeganəliyi alınır.

Yeganəlik teoremi. Puasson tənliyi üçün birinci

sərhəd məsələsinin qapalı oblastında kəsilməz həlli yeganədir.

Tutaq ki, məsələnin iki müxtəlif və həlli var. onda fərqi oblastında harmonik, oblastında kəsil­məz funksiyadır və -də sıfra bərabərdir. Ən böyük və ən ki­çik qiymət teoreminə görə bu funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətləri sıfra bərabərdir. Deməli, D oblastında .

Maksimal qiymət prinsipindən istifadə edərək, birinci sər­həd məsələsinin həllinin sərhəd şərtlərindən kəsilməz asılı ol­masını isbat etmək olar [1].