4. Elliptik tipli tənliklərə gətirilən məsələlər

4.1. Sərhəd məsələlərinin qoyuluşu. Laplas tənliyinin fundamental həlləri

Müxtəlif stasionar (zamandan asılı olmayan) fiziki proses­lə­rin (dalğa, rəqslər, istilikkeçirmə, diffuziya və s.) riyazi mo­del­ləri elliptik tipli tənliklər üçün sərhəd məsələlərinə gətirilir. Bu tipli tənliklərdən ən sadəsi və çox sitifadə olunanı

Laplas tənliyidir.

D oblastında təyin olunmuş u funksiyası 2-ci tərtib xüsusi törəmələri ilə birlikdə bu oblastda kəsilməzdirsə və Lap­las tənliyini ödəyirsə, ona D oblastında harmonik funksiya de­yi­lir.

Laplas tənliyinə gətirilən bəzi fiziki məsələləri nəzərdən keçirək.

Məlumdur ki, stasionar olmayan istilik sahəsinin tempe­ra­turunu ifadə edən u funksiyası

,

istilikkeçirmə tənliyini ödəyir. Proses stasionar olarsa, temperatur paylanması zamandan asılı olmur və ona görə də

(4.1)

Laplas tənliyini ödəyir. İstilik mənbələri olduqda

, (4.2)

tənliyini alırıq, burada istilik mənbələrinin sıx­lığı, k isə istilikkeçirmə əmsalıdır. Bircins olmayan (4.2) Lap­las tənliyinə Puasson tənliyi deyilir.

İkinci misal olaraq mayenin potensial axınına baxaq. Tutaq ki, sərhəddi S olan hər hansı D həcminini içərisində sıxılmayan mayenin sürəti ilə xarakterizə olunan sta­sio­nar axını baş verir. Mayenin axını burulğansızdırsa, sür­ətin potensial vektoru olur, yəni

, (4.3)

burada - sürət potensialı adlanan skalyar funksiyadır.

Mənbə yoxdursa,

. (4.4)

Sonuncu ifadədə (4.3) bərabərliyini nəzərə alsaq,

və ya

(4.5)

alarıq, yəni sürət potensialı Laplas tənliyini ödəyir.

Laplas və Puasson tənliklərinə gətirilən bir çox başqa müx­tə­lif təbiətli fiziki proseslərə misallar göstərmək olar.

Yuxarıda baxılan tənliklər məchul funksiya­ları­na nəzərən daha ümumi elliptik tipli

(4.6)

tənliyinin xüsusi hallarıdır.

Doğrudan da əgər (4.6) bərabərliyində olarsa (4.2) tənliyini və olarsa (4.1) tənliyini alarıq.

Elliptik tənliklər üçün sərhəd məsələlərinin qoyuluşunu nəzərdən keçirək. S səthi ilə əhatə olunmuş D oblastında (4.6) tənliyi üçün aşağıdakı sərhəd məsələləri qoyula bilər:

Qapalı oblastında kəsilməz, -də

(4.7)

tənliyini və S-də aşağıdakı sərhəd şərtlərindən birini ödəyən funksiyasını tapmalı:

, (4.8)

, (4.9)

, (4.10)

burada, - verilmiş funksiyalardır. ­- S səthinə çəkilmiş xarici normal üzrə törəmədir.

(4.7) – (4.8)-ə birinci, (4.7) – (4.9)-a ikinci, (4.7) – (4.10)-a isə üçüncü sərhəd məsələsi deyilir.

Yuxarıdakı sərhəd şərtlərini

(4.11)

şəklində yazmaq olar. olarsa I növ (4.8), olar­sa II növ (4.9), olarsa III növ (4.10) sərhəd şərt­lərini alarıq.

Laplas tənliyi üçün birinci sərhəd məsələsinə Dirixle mə­sə­ləsi, ikinci sərhəd məsələsinə isə Neyman məsələsi deyilir. Əgər həll S səthinin daxilində axtarılırsa, belə məsələyə daxili, xaricində axtarılırsa uyğun məsələyə xarici sərhəd məsələsi deyilir.

Bir çox məsələlərdə Laplas tənliyinin müxtəlif koordinat sistemlərində ifadəsini bilmək zərurəti meydana gəlir. Məsələn, əgər oblastın sərhəddi çevrə olarsa, polyar koordinatlardan, oblast üçölçülü, onun sərhəddi sfera olarsa sferik koordinat sistemindən istifadə etmək lazımdır. Bununla əlaqədar oalraq, əsas koordinat sistemlərində Laplas tənliyini yazaq.

İkiölçülü Dekart koordinat sistemində:

. (4.12)

Üçölçülü Dekart koordinat sistemində:

. (4.13)

Polyar koordinat sistemində:

,

və ya

,

. (4.14)

Silindrik koordinat sistemində:

,

və ya

,

. (4.15)

Sferik koordinat sistemində:

və ya

(4.16)

Laplas tənliyinin sferik və ya silindrik simmetriyaya malik olan, yəni yalnız r dəyişənindən asılı olan həlləri böyük əhəmiyyətə malikdir.

Laplas tənliyinin sferik simmetriyaya malik olan

həlli

və ya

adi diferensial tənliyindən tapılır:

burada və - ixtiyari sabitlərdir. Məsələn,

qəbul etsək,

(4.17)

funksiyasını alarıq. Bu funksiyaya fəzada Laplas tənliyinin fundamental həlli deyilir.

Eyni qayda ilə (4.14) və yaxud (4.15) tənliyindən

olduğunu qəbul etsək, Laplas tənliyinin silindrik və ya dairəvi simmetriyaya malik olan həllini

tənliyindən

şəklində alarıq.

  qəbul etsək, alınan

(4.18)

funksiaysına müstəvidə Laplas tənliyinin fundamental həlli deyilir.

(4.17) funksiyası sonsuzluğa çevrildiyi nöqtəsindən (koordinat başlanğıcından) başqa fəzanın hər bir nöqtəsində Laplas tənliyini ödəyir. Tutaq ki, - M və P nöqtələri ara­sın­dakı məsafədir. Onda

(4.19)

üçölçülü fəzada,

(4.20)

müstəvidə P ilə üst-üstə düşən M ( ) nöqtəsindən başqa qalan hər yerdə harmonik funksiyadır. İxtiyari m ölçülü ( ) fəzada

(4.21)

funksiyası da olduqda harmonikdir və ona m ölçülü fəzada Laplas tənliyinin fundamental həlli deyilir. (4.19) funksiyası mütənasib vuruq dəqiqliyi ilə üçölçülü fəzanın P nöqtəsində yerləşdirilmiş e nöqtəvi elektrik yükünün yaratdığı elektrostatik sahənin potensialına bərabərdir:

.

Eyni qayda ilə

. (4.22)

P nöqtəsində yerləşdirilmiş e elektrik yükü ilə yüklənmiş xəttin elektrik sahəsinin potensialıdır, burada e – vahid uzunluğa düşən elektrik yükünün sıxlığıdır.