2. Hiperbolik tipli tənliklərə gətirilən sadə məsələlər

2.1. Tənliklərin çıxarılışı. Koşi və sərhəd məsələlərinin qoyuluşu

Riyazi fizikada təbiət hadisələri onlara təsir göstərən bü­tün amilləri deyil, onlardan ən mühümlərini nəzərə alan bu və ya digər d­ərəcədə dəqiqliyə malik modellər çərçivəsində öyrənilir, uy­ğun prosesləri ifadə edən tənliklərin çıxarılışında isə fizikanın əsas saxlanma qanunlarından (enerjinin, hərəkət miqdarının və s.) istifadə olunur. Belə modellər çərçivəsində hiperbolik tipli tən­liklərə gətirilən bəzi fiziki məsələləri nəzərdən keçirək. Hi­per­bolik tipli tənliklərə əsasən dalğa (rəqs) prosesləri ilə əlaqədar olan fiziki məsələlər gətirilir.

Məsələ 2.1. Simin eninə kiçik rəqsləri haqqında məsələ.

Uzunluğu olan sim T₀ qüvvəsi ilə dartılmışdır və düz xətt şəklində tarazlıq vəziyyətindədir. t=0 anında simin nöq­tə­lərinə başlanğıc yerdəyişmə və başlanğıc sürət verilmişdir. Si­min nöqtələrinin t >0 üçün eninə kiçik rəqslərinin tapılması mə­sələsinin qoyuluşunu (riyazi modelini) yazmalı.

Həlli. Fiziki məsələyə uyğun sərhəd məsələsinin qoyu­lu­şu­nu yazmaq üçün ilk növbədə baxılan fiziki prosesi xarak­te­ri­zə edən funksiyanı seçmək, sonra isə bu funksiya üçün 1) dife­ren­sial tənliyi çıxarmaq; 2) başlanğıc (əgər proses zamandan ası­lıdırsa) və 3) sərhəd şərtlərini yazmaq lazımdır.

Sim dedikdə istənilən tərəfə əyilə bilən, lakin dartılmaya müqavimət göstərən elastiki tel (sap) başa düşəcəyik. İstənilən tərəfə əyilə bilmək anlayışı isə riyazi olaraq, simdə əmələ gələn gərginliyin onun profilinə (vəziyyətinə) həmişə toxunan istiqamətində olması kimi ifadə olunur (şəkil 2.1). Bu isə si­min əyilməyə qarşı müqavimət göstərməməsi deməkdir. Si­min rəqsləri zamanın t anında absisi x olan nöqtənin yerdə­yiş­mə vektorunun {u₁(x,t), u₂(x,t), u₃(x,t)} komponentləri ilə təiyn olunur. Biz simin eninə kiçik rəqslərini öyrənəcəyik, yəni fərz edəcəyik ki, a) simin nöqtələrinin yerdəyişmələri bir (x,u) müstəvisi üzərində baş verir; b) yerdəyişmə vektoru – u istə­nilən anda x oxuna perpendikulyardır, c) vahidlə müqayisədə -in kvadratını nəzərə almamaq olar. Beləliklə, a) – c) şərt­lə­rini ödəyən model çərçivəsində simin nöqtələrinin zaman­dan asılı olaraq rəqsləri u(x,t) funksiyası ilə xarakterizə olunur.

1. Prosesi xarakterizə edən u(x,t) funksiyasının daxil oldu­ğu tənliyi çıxaraq. Əvvəlcə baxılan model çərçivəsində rəqs prosesində simdə yaranan gərilmə qüvvəsinin zamandan asılı olmadığını göstərək. Həyacanlanmamış simin hər hansı (x₁,x₂) hissəsinin uzunluğu , ixtiyari t anında isə bu hissənin uzunluğu

olar. Kiçik rəqslər üçün isə

alarıq.

Beləliklə, qəbul etdiyimiz şərtlər daxilində rəqs prose­sin­də simin qeyd olunmuş hissəsinin uzunluğu zamandan asılı olaraq dəyişmir. Onda Huk qanununa əsasən T gərilməsinin qiyməti də hər bir nöqtədə zamandan asılı deyildir. Göstərək ki, gərilmə qüvvəsi x –dən də asılı deyildir, yəni

TT₀=const.

Gərilmənin x və u oxları üzərində T_x və T_u proyek­si­yalarını tapaq:

Burada əyrisinə çəkilən toxuna­nın x oxu ilə əmə­lə gətirdiyi bucaqdır.

(x₁,x₂) hissəsinə gərilmə qüvvələri, xarici qüvvələr və ətalət qüvvələri təsir edir. Bütün bu qüvvələrin x oxu üzərində proyeksiyalarının cəmi sıfra bərabər olmalıdır (çünki yalnız eninə rəqsləri nəzərdən keçiririk). Fərziyyəmizə görə ətalət qüvvəsi və xarici qüvvələr u oxu boyunca yönəldiyindən,

və ya

o lar. Buradan, və ixti­ya­ri ol­du­ğundan gə­­ril­­mə­nin x-dən ası­lı olma­ması və de­məli, bütün x və t-lər üçün

olması alınır.

Nyutonun ikinci qanununa gö­­rə simin (x₁,x₂) hissəsinin zaman müddətində hə­rə­kət miqdarının dəyişməsi, bu hissəyə təsir edən qüvvələrin impulsuna bə­ra­bərdir.

Simin xətti sıxlığını , simə u oxu istiqamətində təsir gös­tərən müntəzəm paylanmış xarici qüvvələrin əvəzləyi­ci­si­ni F(x,t) ilə işarə etsək, elementinin hərəkət miqdarının u oxu üzrə toplananı

,

onun zamanında dəyişməsi isə

olar.

x₁,x₂ nöqtələrində gərilmə və simin (x₁,x₂) hissəsinə F(x,t) xarici qüvvələri təsir göstərdiyindən, Nyutonun ikinci qanu­nu­na görə

(2.1)

tənliyini alırıq. (2.1) simin (x₁,x₂) hissəsinin eninə kiçik rəqslərinin inteqral tənliyidir.

Diferensial tənliyə keçmək üçün u(x,t) funksiyasının II tərtib törəmələrinin varlığını və kəsilməzliyini fərz edək. (2.1) tənliyinin sol və sağ tərəfindəki birqat inteqralın in­teq­ralaltı ifadələrinə əvvəlcə Laqranjın sonlu artım düstu­runu, sonra inteqral üçün orta qiymət teoremini, axırıncı inteq­rala isə iki dəfə orta qiymət teoremini tətbiq etdikdən sonra tənlik aşağıdakı şəklə düşər:

(2.2)

burada .

(2.2) tənliyinin hər iki tərəfini -ə bölüb, alınan ifa­də­də şərti ilə limitə keçsək, si­min eninə rəqslərinin diferensial tənliyini alarıq:

(2.3)

Sim bircins olarsa, yəni olduqda, bu tənlik

(2.4)

şəklində yazılar, burada

(2.5)

(2.4) tənliyinə simin məcburi eninə kiçik rəqslərinin dife­ren­sial tənliyi və ya birölçülü dalğa tənliyi deyilir. Xarici qüv­və­lər olmadıqda, simin sərbəst rəqslərini təsvir edən

və ya

bircins tənliyini alarıq.

2. Simin t=0 zaman anında profilini və nöqtələrinin sür­ə­ti­ni xarakterizə edən funksiyaları uyğun olaraq və ilə işarə etsək, funksiyası

(2.6)

başlanğıc şərtlərini ödəyər.

3. funksiyası üçün sərhəd şərtlərinin riyazi ifadə­lə­rini yazmağın bir neçə mümkün halına baxaq:

a) Simin sərhəd nöq­­tələri (ucları) olan x=0 və x= nöq­tə­ləri verilmiş qanun üzrə hərəkət edir (şəkil 2.2). Onda sərhəd şərt­ləri aşağıdakı şəkildə olur:

(2.7)

burada və - t za­manının verilmiş funk­si­yalarıdır. (2.7) şərtlərinə birinci növ qeyri-bircins sərhəd şərtləri deyilir. Əgər simin ucları bər­ki­dilmiş (tərpənməz) olarsa, yəni olarsa,

birinci növ bircins sərhəd şərtlərini alarıq.

b) Simin uclarına təsir edən qüvvələr verilmişdir. Bu halda sərhəd şərtləri

(2.8)

və ya

şəklində olar, burada

(2.8)-ə ikinci növ sərhəd şərtləri deyilir.

Əgər simin ucları sərbəst­dirsə, yəni x oxuna perpen­di­kulyar olaraq sürtünməsiz hərəkət edərsə, onda ikinci növ bir­cins sərhəd şərtləri alınar (şəkil 2.3):

.

c ) Simin uc­ları elastiki bağlan­mışdır. Bu hal sxe­matik olaraq, şəkil 2.4-də göstərilmişdir.

Simin uc­la­rı­na bərkidilmiş yay­lar ucların yerdəyiş­mə­lərinə mütənasib olan gərilmə qüv­və­lərini yaradır ( və ucları yerlərini dəyişə bilər, lakin bağlanmanın elastiklik qüvvə­ləri onları əvvəlki vəziyyətə qaytarmağa çalışır).

x=0 ucunda yerdəyişmə u(0,t), ucunda isə -yə bərabər olar. Bu nöqtələrdə yaylar vasitəsilə yaranmış şaquli qüvvələrin isə uyğun olaraq, və olduğunu nəzərə alsaq, sərhəd şərtləri

və ya

(2.9)

şəklində yazılar (h – yayın elastiklik əmsalıdır). Qeyd edək ki, əgər müsbətdirsə, onda də müsbətdir, əgər müsbətdirsə, onda mənfidir.

Ə gər uclara bərkidilmiş yaylar da müəyyən qanun üzrə hərəkət edərsə (şəkil 2.5), onda

və ya

(2.10)

sərhəd şərtlərini alarıq, burada

.

və yayın uclarının hərəkət qanununu xarakterizə edən verilmiş funksiyalardır.

(2.9) şərtlərinə bircins, (2.10) şərtlərinə isə qeyri-bircins üçün­cü növ sərhəd şərtləri deyilir.

Beləliklə, simin eninə kiçik rəqsləri haqqında sərhəd məsə­lə­si aşağıdakı kimi qoyulur. Elə u(x,t) funksiyasını tapmaq tə­ləb olunur ki, o, aşağıdakı şərtləri ödəsin:

u(x,t) funksiyası qapalı oblastında təyin olunmuşdur və kəsilməzdir.

u(x,t) funksiyası açıq oblastında

(2.11)

tənliyini ödəyir.

u(x,t) funksiyası

(2.12)

başlanğıc şərtlərini ödəyir.

u(x,t) funksiyası

(2.13)

sərhəd şərtlərini ödəyir, burada parametrləri 0 və 1 qiymətlərindən birini ala bilər .

parametrlərinin mümkün qiymətlərində yuxarıda göstə­rilmiş sərhəd şərtlərinin müxtəlif kombinasiyalarından altı növ sadə sərhəd məsələləri alınır. Əgər olarsa, (2.11) – (2.13) məsələsinə I, olarsa II, olarsa III sərhəd məsələsi deyilir. Bu məsələlərdə iki tip şərtlər (başlanğıc və sərhəd) olduğundan, onlara qarışıq məsələlər də deyilir. parametrlərinin digər mümkün qiymətlərində (2.13)-dən qarışıq sərhəd şərtləri alınır.

Sərhəd şərtləri, onların verilmiş olduğu uclardan kifayət qədər uzaqda olan nöqtəsinə kifayət qədər çox vaxt keçdikdən sonra təsir edir. Əgər simin rəqsləri kiçik zaman fasiləsində öyrənilərsə onda (2.11) – (2.13) məsələsi əvəzinə qeyri-məhdud oblast üçün başlanğıc şərtləri olan aşağıdakı məsələ qoyulur:

üçün

(2.14)

tənliyinin olduqda

(2.15)

başlanğıc şərtlərini ödəyən həllini tapmalı. Bu məsələyə bir­öl­çü­lü dalğa tənliyi üçün Koşi məsələsi deyilir.

Simin rəqsləri sərhədlərdən birinin yaxınlığında öyrənilirsə və ikinci sərhəddə olan sərhəd rejimi təsirinin lazım olan za­man ərzində mühüm əhəmiyyəti yoxdursa, onda ya­rım­oxu üzərində qoyulmuş sərhəd məsələsi alınır:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

Xüsusi halda, əgər olarsa, (2.16) – (2.18)-ə sərhəd rejiminin yayılması haqqında məsələ deyilir. başlanğıc anından kifayət qədər uzaqlaşmış zaman anla­rında rəqslərin xarakteri sərhəd şərtləri ilə tamamilə müəyyən olunur. Bu tipli məsələlərə, çox vaxt, simin uzun müddət təsir edən dövri sərhəd rejimi ilə həyəcana gətirildiyi hallarda təsadüf olunur. «Başlanğıc şərtsiz» belə məsələlər (qərarlaşmış rejimdə) aşağıdakı kimi ifadə edilir:

və olduqda

(2.19)

tənliyinin

(2.20)

şərtlərini ödəyən həllini tapmalı.

Yarımsonsuz oxda başlanğıc şərti olmayan məsələlər bu qayda ilə qoyulur.

Məsələ 2.2. Çubuğun uzununa rəqsləri haqqında məsələ.

Uzunluğu olan düzxətli elastiki çubuq, onun en kəsik­lə­rinə t=0 anında başlanğıc yerdəyişmə və başlanğıc sürət ver­məklə tarazlıq vəziyyətindən çıxarılmışdır. Hərəkət zamanı en kəsiklərin çubuğun oxuna perpendikulyar müstəviyə papralel qalmalarını fərz edərək, t >0 üçün çubuğun uzununa kiçik rəqslərinin tənliyini çıxarmalı.

Həlli. X oxunun parçasında yerləşən çubuğu nəzər­dən keçirək. Absisi x olan nöqtədə çubuğun en kəsiyinin sahə­sini S(x), Yunq modulunu k(x), absisi x olan kəsiyin sıxlığını , bu kəsiyə x oxu boyunca təsir edən xarici qüvvələrin əvəzləyicisini və absisi x olan kəsiyin t anında x oxu bo­yun­ca yerdəyişməsini u(x,t) ilə işarə edək. Nəhayət, qeyd olunan kəsiyin bütün nöqtələrinin yerdəyişmələrinin eyni olduğunu qəbul edək. Beləliklə, hər hansı qeyd olunmuş kəsiyin hərəkəti Laqranj koordinatları ilə ifadə olunur, x – qeyd olunmuş kəsiyin sükunət halında absisidir.

Qəbul olunmuş model çərçivəsində çubuğun rəqsləri u(x,t) funksiyası ilə ifadə olunur. Çubuqda rəqs zamanı meydana çıxan gərilmənin Huk qanununa tabe olmasını fərz edəcəyik, yəni çubuğun kiçik uzununa rəqslərini öyrənməklə kifayətlənəcəyik. elementinin t anında nisbi uzanmasını hesablayaq. Bu elementin uclarının koordinatları , nisbi uzanması isə

olar. Burada şərti ilə limitə keçsək, x nöqtəsində t anında nisbi uzanmanın u_x(x,t) funksiyası ilə təyin olunduğunu alırıq. Huk qanununa əsasən çubuqda gərilmə

olur. Çubuğun hissəsinə ( zamanında) Nyu­to­nun ikinci qanununu tətbiq etsək,

(2.21)

alarıq. (2.21) baxılan model çərçivəsində çubuğun (x₁,x₂) kiçik uzununa rəqslərinin inteqral şəkildə tənliyidir. u(x,t) funksi­ya­sı­nın ikinci tərtib kəsilməz xüsusi törəmələrinin, k(x), S(x) funk­siyalarının isə birinci tərtib kəsilməz törəmələrinin oldu­ğu­nu fərz etsək, çubuğun kiçik uzununa rəqslərinin diferensial tənliyini alarıq:

Əgər S(x), k(x) və sabit olarsa, yəni cubuq bircins olarsa, (2.22) tənliyindən

(2.22)

birölçülü dalğa tənliyi alınır, burada

.

Beləliklə, (2.22) tənliyi (2.4) tənliyi ilə üst-üstə düşür, buna görə də onlar üçün qoyulmuş məsələlər yalnız şərtlərin fiziki izahı ilə fərqlənirlər.

Eyni qayda ilə çoxölçülü halda da dalğa tənliklərini çıxar­maq olar. Məsələn, bircins membranın (əyilməyə və sürüşməyə qarşı müqavimət göstərməyə nazik yastı təbəqə) kiçik eninə rəqslərinin diferensial tənliyi

olur, burada - gərilmənin qiyməti; - membranın sıxlığı, - membranın vahid kütləsinə düşən qüvvə sıxlığıdır.

Çoxölçülü halda daha ümumi hiperbolik tipli tənliyi

şəklində yazmaq olar, burada məchul funksiya, verilmiş kifayət qə­dər hamar funksiyalar, - n ölçülü fəzanın oblastının ixtiyari nöqtəsidir. Məsələn, üçölçülü halda olur və bu tənlik

şəklində yazılır. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, sonuncu tənlikdən xüsusi hallarda yuxarıda göstərilən birölçülü, ikiölçülü dalğa tənlikləri alınır. Çoxölçülü halda Koşi və sərhəd məsələlərinin qoyu­lu­şunu birölçülü halda analoji qayda ilə yazmaq olar.

Müstəqil həll etmək üçün məsələlər

1. Bir ucu verilmiş qanunla, digər ucu sürtünməsiz sərbəst hərəkət edən bircins simin nöqtələrinə zaman anında başlanğıc yerdəyişmə və sürət verilmışdir. Simin eninə kiçik sərbəst rəqslərinin tapılması haqqında sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

2. Uzunluğu olan bircins simin nöqtələrinin başlanğıc yerdəyişməsi və sürəti məlumdur. Simin ucuna təsir edən qüvvənin zamandan asılı olaraq dəyişmə qanunu verilmişdir, ucu isə elastiki bağlanmışdır. Simin sərbəst rəqslərinin tapılması haqqında məsələnin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

3. Başlanğlc zaman anında OX oxu boyunca yerləşmiş uzunluğu olan bircins simin nöqtələrinə başlanğıc sürət veril­­mişdir. Simin ucunun hərəkət qanunu verilmiş, ucu isə sərbəst olarsa, onun məcburi rəqslərinin tapılması haqqında sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

4.

sərhəd məsələsinin fiziki izahını verin.

Cavab: Vahid uzunluqlu bircins simin nöqtələrinin başlan­ğıc vəziyyəti funksiyası ilə ifadə olunur, başlanğıc sürəti isə sıfra bərabərdir. Elastiki bağlanmış ucunda yayın zamandan asılı olaraq hərəkət qanunu verilmiş, digər ucu tərpənməz bərkidilmişdir. Simin məcburi rəqslərinin qanununu tapmalı.

5. Müqaviməti sürətin birinci dərəcəsi ilə mütənasib olan mühitdə simin eninə rəqslərinin tənliyini çıxarın.

Cavab:

6. Vertikal şəkildə asılmış ağır elastiki çubuğun yuxarı ucu sərbəst düşən liftin döşəməsinə tərpənməz bərkidilmişdir və lift müəyyən sürətinə çatdıqda ani olaraq dayanır. Çubuğun eni­nə rəqslərinin tapılması haqqında sərhəd məsələsinin qoyu­lu­şunu yazın.

Cavab:

7. Sol ucu tərpənməz bərkidilmiş, sağ ucu sərbəst olan uzunluqlu bircins simə anından başlayaraq kəsilməz paylanmış və xətti sıxlığı olan eninə qüvvələr təsir edir. -da simin nöqtələrinin eninə yerdəyişmələrini ifadə edən funksiyası üçün sərhəd məsələsini yazın (Simin nöqtələrinin başlangıc yerdəyişməsi və sürəti verilmişdir).

Cavab:

8. Uzunluğu olan qeyri-bircins elastiki yayın ucu sər­bəst, ucu tərpənməz bərkidilmiş olduqda onun nöq­tələrinin başlanğıc uzununa yerdəyişmə və sürətinin təsirindən yaranan eninə rəqsləri haqqında sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

9. Ucları tərpənməz bərkidilmiş kəsik konus şəklində olan bircins elastiki çubuq anında onun nöqtələrinə başlanğıc eninə yerdəyışmə və sürət verməklə tarazlıq vəziyyətindən çıxarılmışdır. Çubuğun uzunluğu , oturacaqlarının radiusları və -ə bərabər olarsa, onun uzununa rəqsləri haqqında sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

tam konusun hündürlüyüdür. OX – oxu konusun oxu istiqaməti üzrə yönəlmişdir.

10. Sonsuz bircins sim kvadratik parabola şəklində olan başlanğıc vəziyyətlə tarazlıqdan çıxarılmışdır, başlanğıc sürət sıfra bərabərdir. Simin eninə rəqslərinin tapılması məsələsini­nin qoyuluşunu yazın.

C avab:

11. Qeyri-bircins çubuğun sərbəst rəqslərinin tənliyi üçün Koşi məsələsini yazın.

Cavab:

12. Sonsuz bircins sim anında nöqtələrinə başlanğıc sürət verməklə tarazlıq vəziyyətindən çıxarılmışdır. Simin məcburi rəqslərinin tənliyi üçün Koşi məsələsini yazın.

Cavab:

13. Bir ucu tərpənməz bərkidilmiş yarımsonsuz çubuğun anında nöqtələrinə eninə yerdəyişmə verməklə taraz­lıqdan çıxarılmış­dır. Çubuğun məcburi rəqslərinin tapılması haqqında məsələnin qoyulyşunu yazın.

Cavab:

14. Hansı tənlik qeyri-bircins çubuğun sərbəst rəqslərini ifadə edir?

A) , B) ,

C) , D) ,

E) .

Cavab: B)

15. Hansı diferensial tənlik qeyri-bircins dalğa tənliyidir?

A) ,

B) , C) ,

D) , E) .

Cavab: B)

16. Simin eninə rəqslərinin tənliyi üçün yazılmış hansı sərhəd şərtləri simin ucunun sürtünməsiz sərbəst hərəkət edən, ucunun isə elastiki bağlanma halına uyğundur?

A) ,

B) ,

C) ,

D) ,

E) .

Cavab: C)

17. Dalğa tənliyi üçün yazılmış sərhəd şərtlərinin növünü müəyyən edin.

Cavab: -da II növ qeyri-bircins, -də I növ bircins sərhəd şərtləri.

18. Qeyri-bircins cubuğun sərbəst rəqslərinin tənliyi üçün yarımsonsuz oxda I sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

19. üçün sürtünməsiz sərbəst hərəkət edən yarım­son­suz bircins simin nöqtələrinin başlamğıc vəziyyəti və baş­lan­ğıc sürəti məlum olduqda, onun sərbəst rəqslərinin qanu­nu­nun tapılması məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

20. ucu elastiki bağlanmış bircins yarımsonsuz simin məcburi rəqslərinin qanu­nu­nun tapılması məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

21. En kəsiyinin sahəsi -dən asılı verilmiş funksiya olan bircins yayın (çubuğun) uzununa kiçik sərbəst rəqslərinin tənliyini çıxarın.

Cavab:

Göstəriş: Tənliyin çıxarılışında qəbul etməli.

22. Müqaviməti sürətin birinci dərəcəsinə mütənasib olan mühitdə hər iki ucu tərpənməz bərkidilmiş bircins simin kiçik eninə rəqsləri haqqında sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

burada, - sürtünmə əmsalıdır.

23. İkiölçülü dalğa tənliyi üçün Koşi məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

24. Bircins düzbucaqlı membranın nöqtələrinin başlanğıc nöqtələrinin başlanğıc yerdəyişməsini və başlanğıc sürətini məlum, kənarları tərpənməz bərkidildiyini qəbul edərək, onun eninə sərbəst rəqsləri haqqında sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

25. Bircins dairəvi membranın eninə rəqslərinin tənliyi üçün 24-cü məsələnin şərtləri daxilində sərhəd məsələsinin qoyuluşunu yazın.

Cavab:

Göstəriş: Polyar koordinat sistemindən istifadə etməli.