63.Рівняння Шредінгера

Статистичне трактування хвиль де Бройля і співвідношення невизначеностей Гейзенберга привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, яке описує рух мікрочастинок в різних силових полях, повинно бути рівняння, з якого би виходили хвильові властивості частинок, які спостерігаються під час досліду. Основне рівняння повинно бути рівнянням відносно хвильової функції , оскільки саме вона, або, точніше, величина , визначає ймовірність перебування частинок у момент часу t в об’ємі dV. Оскільки шукане рівняння повинно враховувати хвильові властивості частинок, то воно повинно бути хвильовим рівнянням.

Основне рівняння нерелятивістської квантової механіки сформульовано в 1926 р. Е. Шредінгером. Рівняння Шредінгера, як і всі основні рівняння фізики, не виводиться, а постулюється. Правильність цього рівняння підтверджується узгодженням з експериментами, що, у свою чергу, надає йому характер закону природи.

Рівняння Шредінгера має такий вигляд:

,

де ,m – маса частинки, – оператор Лапласа, ( ), – потенціальна енергія частинки в силовому полі, в якому рухається частинка, – уявна одиниця.

З погляду математики рівняння Шредінгера є лінійним диференціальним рівнянням з частинними похідними. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що кожне лінійне рівняння з частинними похідними має багато розв’язків, причому таких, що лінійна комбінація будь-якої сукупності розв’язків рівняння також буде розв’язком рівняння.

Це рівняння справедливе для довільної частинки, яка рухається з малою швидкістю ( ).

Записане вище рівняння Шредінгера називають рівнянням Шредінгера, що залежить від часу, бо воно містить похідну від функції по часу.

Проте для значної кількості фізичних явищ, які відбуваються в мікросвіті, наприклад, для опису поведінки електрона в атомі у ряді випадків важливо вміти знаходити стаціонарні розв’язки рівняння Шредінгера, які не містять часу.

Щоб розв’язати цю задачу, треба знайти так зване стаціонарне рівняння Шредінгера, в якому виключено залежність від часу. Воно має сенс для тих задач, в яких потенціальна енергія U не залежить від часу: . Шукатимемо розв’язок рівняння Шредінгера у вигляді добутку:

,

де є функцією лише координат, а – повна енергія частинки.

Підставимо вираз для у рівняння Шредінгера

.

Скоротивши на множник , отримаємо

.

Це стаціонарне рівняння Шредінгера.

Наведене рівняння – найважливіше співвідношення нерелятивістської квантової механіки. Функції , які задовольняють рівняння Шредінгера при певному Е, називають власними функціями. В рівнянні Шредінгера як параметр входить повна енергія частинки. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що подібні рівняння мають розв’язок не при довільних значеннях параметра, а лише при певних значеннях Е. Ці значення енергії називають власними.

Власні значення Е можуть утворювати як неперервний, так і дискретний ряд. У першому випадку говорять про неперервний, або суцільний спектр, у другому – про дискретний спектр.

64. Постулати Бору

До 1913 р. були три експериментальні факти, які не знаходили пояснення в рамках класичної фізики:

1. Емпіричні закономірності лінійчатого спектра атома водню, виражені у формулі Бальмера – Ридберга.

2. Ядерна модель атома Резерфорда.

3. Квантовий характер випромінювання й поглинання світла (теплове випромінювання й фотоефект).

 Для можливості розв’язання виниклих утруднень Н. Бор (датський вчений) сформулював три постулати для водню й воднеподібних атомів – ядром із зарядом Ze і один електрон рухається навколо ядра.

I – й постулат – постулат стаціонарних станів:

У системі існують деякі стаціонарні стани, що не змінюються в часі без зовнішніх впливів. У цих станах атом не випромінює світла.

I I –й постулат – правило квантування орбіт:

У стаціонарному стані атома електрон, рухаючись по круговій орбіті із прискоренням, не випромінює світла, повинен мати дискретні (квантовані) значення моменту імпульсу

III – й постулат – правило орбіт:

Випромінювання випускається або поглинається у вигляді світлового кванта енергії при переході електрона з одного стаціонарного стану в інше.

Величина світлового кванта дорівнює різниці енергій стаціонарних станів, між якими відбувається перехід електрона

 

,

n > m –випромінювання фотона,

n < m –

поглинання фотона.

Набір можливих дискретних частот

 

квантових переходів і визначають лінійчатий спектр атома.

 

Будова атома

Атом - мікрочастинка, яка складається з ядра, що вміщує протони і нейтрони, і електронів, які утворюють зовнішню оболонку Хімічний елемент - вид атомів з однаковим зарядом ядра Ізотоп - вид атомів з однаковим масовим числом Масове число - загальна кількість протонів і нейтронів, що входять до ядра

Квантові числа - параметри, що визначають електронну структуру і властивості електронів  атома n - головне квантове число; визначає енергетичний рівень і енергію електрона n = 1, 2, ...[1]... ; l - орбітальне квантове число; визначає енергетичний підрівень, форму орбіталі і енергію електрона l = 0, 1, ...[1]... n-1; ml - магнітне квантове число; визначає просторову орієнтацію атомних орбіталей ml = -1... [1]...+1; ms - спінове квантове число; визначає власний механічний і магнітний момент електрона ms = -1/2 або +1/2 Кількість енергетичних підрівнів на енергетичному рівні дорівнює n Електронна ємність енергетичного рівня дорівнює 2n2 Кількість орбіталей на енергетичному підрівні дорівнює 2l  + 1 Електронна ємність енергетичного підрівня дорівнює 2·(2l  + 1)

Принцип Паулі -  в атомі не може бути двох або більше електронів з однаковим набором всіх чотирьох квантових чисел Правило Гунда - сумарне спінове число електронів на даному підрівні повинне бути максимальним Правило Клечковського - енергетичні підрівні заповнюються у порядку зростання величини n+l, а при рівних значеннях  - у порядку зростання величини n.