Луивилль теоремасы

Барлық комплексті C жазықтығында f голоморфты болсын және M > 0,

барлығы үшін

Онда f(z)≡const.

Дәлелдеу. Тейлор f функциясының a=0 нүктесінде C_n коэффициенттері арқылы белгілейміз.

Барлығы үшін . Коши теңсіздігіне сәйкес

Барлығы үшін r > 0 және n = 0,1,2,... . r → ∞ ұмтылдыра біз n = 1,2,... . кезіндегі аламыз.

Осылайша, f(z) = c₀≡ const.

Ескерту. Луивилль теоремасы бойынша барлық С жазықтығында константалардан басқа шектеулі голоморфты функция жоқ. Әр үзіліссіз функция шартта шектеулі болғандықтан, кеңейтілген комплексті жазықтығында жалғыз голоморфты функция константалар болып табылады.

Голоморфты функциялардың шексіз рет дифференциалдану. Морера теоремасы.

Голоморфты функция. ∞ ∈ аймағында берілген комплекс мәнді f функциясы нүктесінде голоморфты деп аталады, егер функция

нөлде голоморфты болса.

Анықтама. шексіздікке нүктесінде ұмтылса, z₀ нүктесінде голоморфты деп аталады:

Көбінесе, егер f(∞) = ∞ болса,онда f голоморфтылығы z₀ = ∞ нүктесінде функцияның нөлде голоморфтылығын білдіреді

.

Голоморфты функциялардың шексіз рет дифференциалдану

Теорема. f функциясы еркін облыста D ⊂ C голоморфты, D-да голоморфты болатын барлық реттегі туындысы бар. Тейлор қатарының n-ші туындысы f ⁽ⁿ⁾(z) еркін нүктесінде a ∈ D n-еселенген Тейлор қатарының f(z) үшін дифференциалдануы д.а.

Дәлелдеу. Тейлор қатарының f(z) үшін центрі а болатын нүктедегі U_R(a) дөңгелек жинақтылығын қарастырайық. Демек, f’ функциясы U_R(a) дөңгелегінде голоморфты ,ал оның табыстаушы қатары центрі а болатын функция Тейлор қатары болып табылады. f’ үшін бұл пайымдауды қайталай келе, .f^’’’үшін дәл сондай пайымдау аламыз. Нүктенің туындылау a ∈ D күшіне f функциясы D-да барлық реттегі туындысы бар болады.

Морера теоремасы Кошидің интегралдық теоремасының толық емес айналымы болып табылады және комплексті айнымалы функциялар теориясының негізгі теорияларының бірі болып табылады. Ол былай тұжырымдалады:

Егер комплексті айнымалы z функциясы D облысында үзіліссіз және интеграл одан барлық тұйық контур бойынша γ D нөлге тең,яғни

Мұндағы   - D облысындағы аналитикалық функция.

D облысында жататын шекара бойынша алынған кез келген үшбұрыштың интергалдарын нөлге айналу талабымен шектеліп теорема шартын жеңілдетуге де болады.

Морера теоремасы қиын анықталатын кейбір функцияларды аналитикалық екенін дәлелдеу болып табылады. Егер     аналитикалық функцияның реттілігі біркелкі функциясымен дәл келеді,онда

Сол себепті, Морера теоремасы бойынша шекті функция голоморфты болады. Осылайша көп функцияның голоморфтылығы дәлелденеді,мысалы Риман дзета-функциясы арқылы есептелінген:

Және Эйлердің гамма-функциясы арқылы

Морера теоремасы симметрия принципі бойынша бекітілген функцияның аналитикалық екенін дәлелдеу үшін қолданылады.