Конформды бейнелеу

Егер функцясы аналитикалық функция болса және D облысының бір г₀ нүктесінде оның туындысы нольден өзгеше болса, онда г₀ нүктесінің жсткілікті түрде алынған шағын аймағы ) нүктені қамтитын жазықтығының бір облысына өзара бірмәнді және үздіксіз болып бейнеленеді. Бұлай бейнеленгенде нүктесінен өтетін екі қисықтың арасындағы бүрыш өзінің шамасы бойынша да, бағыты бойынша да әлгі қистықтардың жазықтығындағы кескіндерінің арасындағы бұрышқа дәл келеді, ал бейнелердін нүктесіндегі сызықтық масштабы сол нүктесінен өтетін қисықтардың бәріне бірдей болады.

А н ы қ т а м а. Бұрыштың шамасын да, бағытын да өзгертпейтін және керу шамасы тұрақты болатын бейнелеу конформды бейнелеу деп аталады.

Конформдық бейнелеу теориясының негізіне төмендегі теоремалар жатады.

10-теорема. Туындысы нольден өзгеше, яғни болатын барлык, z нүктелерде аналитикалық функция арқылы жүзеге асырылатын бейнелеу конформдық бейнелеу болады және бұл бейнелеуде бұрылыс бұрышы болады, ал шамасы нүктелерін жазықтығының нүктелеріне бейнелегендегі созу коэффициенті болады.

11-теорема. Z жазықтығының, толық жазықтықтан немесе бір нүктесі шығарылып тасталған

жазықтықтан өзгеше, бір бір жүйелі D облысын жазьщтығының бір ғана дөңгелегіне өзара

бірмәнді және конформды түрде сансыз көп тәсілдермен бейнелеуге болады.

Еғер D облысының берілген нүктесі мен сондағы бір белгілі бағыт деңгелек ішіндегі бір

тиянақты нүкте мен бағытқа көшетіндей етіп сайлап алатын болсак, онда D облысы жоғарыда

айтылған дөң-гелекке бірмәнді түрде бейнеленеді.

12-теорема. Егер бірбайланысты облыстың шекарасы екі еселік нүктелері жоқ үздіксіз қисық

болса, онда облыстың дөңгелекке конформдық бейнеленуіндегі сәйкесгік шекараларға шейін өзара

бірмәнді болады.

Функционалдық қатарлар. Жинақталу нүктесі, жинақталу жиыны. Нүктелі және бірқалыпты жинақталу. Функционалдық қатардың жинакталуының Вейерштрасс белгісі. Бірқалыпты жинақталатын функциялық қатарлардың қасиеттері.

Комплекс облыстағы қатарлар теориясы математикалық анализ курсындағы қатарлар теориясы сияқты құрылады.

Мүшелері комплекс сандар болатын

, (1)

қатары берісін.

,қатар мүшелері, ал —қатардың жалпы мүшесі деп аталады.

қосындыларын қатардың дербес қосындылары деп атайды.

А н ы қ т а м а. Егер сандық тізбегінің S-қа тең шегі бар болса, онда (1) қатары жинақталады, Sсаны (1) қатарының қосындысы дейді.

Бұл жағдайда «(1) қатары S санына жинақталады» деп те атайды. Қалған жағдайлардың әрқасысында, яғни тізбегінің , не ақырсыз шектері бар не ешқандай да шегі болмағанда, (1) қатары жинақталмайды, не жинақсыз дейді.

16-теорема (Қатар жинақтылығының қажетті шарты).

Егер қатары жинақталса, онда оның, жалпымүшесініңшегібаржәненольгетең,яғни, .

Салдар (қатаржинақталмауыныңжеткіліктішарты). Егерқатардың.жалпымүшесінольгеұмтылмаса, ондақатаржинақталмайды.

Е.скерту. шартықатаржинақталуыныңқажеттішартыболатұрып, жеткіліктішартыемес: қатардыңжалпымүшесінольгеүмтылсада, қатаржииақталмауымүмкін.

Теорема17. Мүшелері комплекс сандар болатын қатары жинақталуы үшін, оның нақты және жорамал бөліктері болатын және қатарларының жинақталы қажетті және жеткілікті.

Анықтама. (1) қатар абсолютжинақты деп аталады, егер оның мүшелерінің модульдерінен тұратын қатары жинақты болса.

Салыстыру белгісі. Егер барлық үшін болса онда жинақтылығынан жинақтылығы шығады.

Даламбер белгісі. Егер болып, болса (1) қатар абсолют жинақты, ал болса жинақсыз.

D облысында анықталған комплекс айнымалы функциялар тізбегінің мүшелерінен құралған мына өрнекті , ( 2)

функционалдық қатар деп атайды.

Бұл қатар белгілі бір нүктеде сандық қатарына айналады. Егер сандық қатары жинақты болса, онда (2) функционалдық қатар нүктеде жинақты деп атайды. Ал x₀-ді функционалдық қатардың жинақтылық нүктесі дейді. Функционалдық қатар жинақты болатын нүктелердің жиынын қатардың жинақтылық облысы деп атайды.

ақырлы қосындыны (2)-қатардың n-ші дербес қосындысы, ал D облысында анықталған

функциясын (2)-қатардың қосындысы деп атайды.

D облысында формуласымен анықталған функциясы қатардың n –і қалдығы деп аталады. Егер ұмтылғанда екендігі айқын.

Функционалдық қатардың әрбір нүктеде жинақталуын нүктелі жинақтылықдеп атайды. (2)- қатар әрбір нүктеде жинақты, және оның қосындысы болсын.

Қандай шарттар орындалғанда аналитикалық функциялардан тұратын жинақты қатардың қосындысы да аналитикалық функция болады?

А н ы қ т а м а(бірқалыпты жинақтылық).(2) функционалдық қатарD облысында функциясына бірқалыпты жинақты деп аталады, егер кез келген саны үшін -тен тәуелсіз нөмірі табылып, үшін және барлық нөмірлері үшін

теңсіздігі орындалса.

Яғни, , онда , ,

1) Егер (2) қатар мүшелері D облысында үзіліссіз болып, қатар осы облыста бірқалыпты жинақты болса, онда оның қосындысы функциясы D облысында үзіліссіз болады.

2) Егер (2) қатар мүшелері D облысында үзіліссіз болып, қатар осы облыста бірқалыпты жинақты болса, онда

,

мұндағы - контурыD облысында жатқан кез-келген сызық.

3) Егер (2) қатар мүшелері D облысында аналитикалық болып, қатар осы облыста бірқалыпты жинақты болса, онда оның қосындысы -те D облысында аналитикалық болады және

,

мұнымен қатар функциялар туындыларынан тұратын қатар да D облысында бірқалыпты жинақты.

18-теорема.(бірқалыпты жинақтылықтың Вейерштрасс белгісі). Егер , қатары жинақты болып, D- дан алынған кез келген z және үшін болса, онда (2) қатар D жиыныда абсолютті және бірқалыпты жинақты.

Кез келген мүшесі дәрежелік функция болатын қатарды дәрежелік қатар деп атайды.

(3)

мұндағы -комплекс сандар, ал -комплекс айнымалы, - дәрежелік қатардың коэффициенттері.

болғанда (4)

қатарын аламыз.

Дәрежелік қатардың жинақтылық нүктелерінің жиынын қатардың жинақтылық облысы деп атайды.

Дәрежелік қатардың дербес қосындылары

-тен тәуелді функция болатындығы айқын. Сондықтан қатар қосындысы S те қатардың жинақталу облысында анықталған -тен тәуелді функция болады:

Дәрежелік қатарлар. Абель теоремасы. Жинақталу жиыны мен жинақталу радиусы.

Кез келген мүшесі дәрежелік функция болатын қатарды дәрежелік қатар деп атайды.

(3)

мұндағы -комплекс сандар, ал -комплекс айнымалы, - дәрежелік қатардың коэффициенттері.

болғанда (4)

қатарын аламыз.

Дәрежелік қатардың жинақтылық нүктелерінің жиынын қатардың жинақтылық облысы деп атайды.

Дәрежелік қатардың дербес қосындылары

-тен тәуелді функция болатындығы айқын. Сондықтан қатар қосындысы S те қатардың жинақталу облысында анықталған -тен тәуелді функция болады: .

19-теорема (Абель Нильс Хенрик (1802—1829) — норвег математигі).

1) Егер (4) дәрежелік қатар нүктеде жинақты болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген облыста ол қатар бірқалыпты және абсолют жинақты.

2) егер (4) дәрежелік қатар нүктеде жинақсыз болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер жиынында ол қатар жинақсыз.

Абель теоремасы бойынша дәрежелік қатардың жинақтылық облысы дөңгелек болады.

Теріс емес R саны дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы деп аталады.

Қатардың жинақтылық радиусын Даламбер және Коши белгілерін пайдаланып табуға болады.

1) ; 2) .

Дәрежелік қатардың негізгі қасиетттеін атап өтейік.

1) (3) қатар жинақтылық дөңгінің ішкі нүктелерінде еабсолюттіжинақты, яғни де.

2) Дәрежелік қатар өзінің жинақтылық дөңгінің ішіндегі кез келген дөңгелекте бірқалыпты және абсолют жинақты болады.

3) Жинақтылық дөңгінің ішінде дәрежелік қатардың қосындысы аналитикалық болады. 20-теорема. Егер функциясы нүктенін, аймағында бірмәнді аналитикалық функция

болса, онда ол осы нүктенің аймағында оң дәрежелер бойынша Тейлордың дәрежелік

қатарына жіктеледі. Бұлай жіктелгенде қатардың жинақтылық дөңгелегінің шеңбері функцияның а нүктесіне ең жақын г айырықша нүктесінен өтеді, онын, центрі а нүктесінде болады.

Жинақтылық радиусы былай өрнектеледі: .

Тейлор қатарының коэффициенттері мына формулалар бойын-ша есептеліп шығарылады:

21-теорема. (жалғыздық теоремасы). дөңгелегінде аналитикалық болатын кез келген функциясы осы дөңгелекте Тейлор қатарына жалғыз әдіспен жіктеледі.

Е с к е р т у. 1. Кез келген дәрежелік қатар оның қосындысының Тейлор қатары деп қарауға болады.

2. Аналитикалық функциялар, тек солар ғана дәрежелік қатарға жіктеледі.

Олай болса, дәрежелік қатарлар арқылы аналитикалық функцияға мынадай анықтама беруге болады:

Егер нүктесінің қандай да бір маңайында функциясы жинақты дәрежелік қатарға жіктетін болса, онда функциясын нүктесінде аналитикалық функция деп атайды.