Комплекс айнымалының функциясы

D – комплекс жазықтығында берілген облыс болсын (z комплекс сандардың жиыны). Егер әрбір нүктесіне қандай да бір заңдылықпен бір ғана комплек саны сәйкестендірілсе, онда D облысында z комплекс айнымалының бірмәнді функциясы анықталған дейді.Комплекс айнымалының функциясын геометриялық тұрғыда қарастыру үшін жазықтығымен қатар нақты бөлігі u, ал жорамалбөлігі v болатын, комплекс айнымалының екінші жазықтығын қарастыру қажет. функциясы әрбір нүктесіне нүктесін сәйкес қояды. z нүктесі D облысында өзгергенде оған сәйкес w нүктесі облысындағы мәндерді қабылдайды.Сонымен, комплекс айнымалының функциясы, геометриялық тұрғыда, D облысын облысына бейнелейді.

нүктесі жататын D облысының, мүмкін -ден басқа нүктелерінде, функциясы анықталсын.

А н ы қ т а м а. саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, егер кез келген саны үшін саны табылып, нүктесінің -маңайынан алынған, мүмкін нүктесінен өзге, барлық нүктелер үшін теңсіздігі орындалса.

А н ы қ т а м а. нүктесінің маңайында анықталган функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер болса.

Комплекс айнымалы комплекс мәнді функцияның шегі, нүктедегі және облыстағы үзіліссіздігі. D – комплекс жазықтығында берілген облыс болсын (z комплекс сандардың жиыны). Егер әрбір нүктесіне қандай да бір заңдылықпен бір ғана комплек саны сәйкестендірілсе, онда D облысында z комплекс айнымалының бірмәнді функциясы анықталған дейді. Е жиынының әрбір элементіне Ғ жиынының бір элементіне сәйкес келетін ережені функция деп атаймыз.

саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, егер кез келген саны үшін саны табылып, нүктесінің -маңайынан алынған, мүмкін нүктесінен өзге, барлық нүктелер үшін теңсіздігі орындалса.

А н ы қ т а м а. нүктесінің маңайында анықталган функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер болса.

Нақты және комплекс анализдердiң мағынасында функцияның дифференциалдауы. Олардың байланысы: Коши-Риман шарты. Комплекс дифференциалдаудың нақты айнымалы нақты мәнді функциялардың дифференциалдауға қарағанда қатаңдылығы. Туынды және оның дифференциалдануымен байланысы.

Е жиынының әрбір элементіне Ғ жиынының бір элементіне сәйкес келетін ережені функция деп атаймыз. бірмәнді функциясы нүктесінің маңайында анықталсын.

тәуелсіз айнымалы -тің маңайына тиісті өсімшесі болсын. өсімшесіне функцияның өсімшесі сәйкес келеді.

А н ы қ т а м а. Егер ақырлы шегі бар болса онда оны функциясының нүктедегі туындысы деп атап, символымен белгілейді.

функциясын нүктедесінде дифференциалданады деп атайды, егер ол нүктесінің маңайында анықталып, оның өсімшесі -ке қатысты сызықты және

-пен салыстырғанда жоғарғы ретті шексіз аз болатын шамалар қосындысы түрінде өрнектелсе, яғни ,

мұндағы шамасы -тен тәуелсіз, егер болса.

өрнегі функциясының нүктедегі дифференциалы деп аталады, мұнда . Дифференциал функция өсімшесінің сызықты, ал егер болса басқы бөлігі.

5-теорема. функциясы нүктедесінде дифференциалданады сонда, тек қана сол жағдайда, егер осы нүктеде функцияның туындысы бар болып, сонымен қатар болса.

6-теорема. нүктедесінде дифференциалданатын функция, сол нүктеде үзіліссіз.

7-теорема. (Коши – Риман шарттары). Комплекс айнымалы функциясы нүктесінің маңайында анықталған болсын. Осы функция нүктедесінде дифференциалданатын болуы үшін және функциялары нүктесінде дифференциалданатын болып, олар үшін (C.-R.)

шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

7-теореманың шарттары орындалған жағдайда туындысы келесі түрлердің бірімен анықталады: .

(C.-R.) шарттарын Коши-Риман шарттары деп атайды.

Нүктеде, ашық жиында, кез келген жиында функциның голоморфтылығы. Туындының модулiнiң және аргументiнiң геометриялыќ мағынасы. Конформды бейне туралы ұғым. D облысының кез келген нүктесінде дифференциалданатын функцияны аналитикалық немесе голоморфтық функция деп атайды.Сонымен функция аналитикалық болуы үшін ол тек бір нүктеде ғана дифференциалданып қоймай, функция қарастырылып отырған нүктенің маңайында да дифференциалдануы керек. Сондықтан функция аналитикалық болатын нүктелер жиыны ашық. Математикалық анализде қарастырылған элементар функциялар аналитикалық болады. Сонымен қатар гамма-функция, бессель функциясы, эллипстік функция тағы басқа да көптеген функциялар аналитикалық болады.

Аналитикалық функциялардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және қатынасы аналитикалық функция болады. Аналитикалық функциядан алынған туынды мен интеграл да аналитикалық болады.

Егер - D облысының кез келген нүктесінде аналитикалық функция болса, онда оны D облысында регулярлы аналитикалық (немесе регулярлы, не голоморфты) деп атайды.

Бүкіл жазықтықта аналитикалық функция бүтін деп аталады.

Мысалы, дәре көрсеткіші натурал сан болатын бүтін. көпмүшелігі жазықтықтың кез келген нүктесінде дифференциалданады. рационал функцияның, мұндағы және - көпмүшелер, бөлімі нөл болмайтын нүктелерде туындысы бар. Сондықтан функциясы нөл болатын саны ақырлы нүктелерді алып тастаған облыста аналитикалық.