Тізбектер

_{комплекс сандар тізбегі деп оң бүтін сандарда анықталған функцияны айтамыз.}

А н ы қ т а м а. саны комплекс сандар тізбегінің шегі деп аталады, егер кез келген саны үшін номері табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса.

Ақырлы шегі бар тізбек жинақты тізбек деп аталып, түрінде жазылады. Бұл жазуымен эквивалентті.

комплекс сандар тізбегінің шегі шексіздік деп аталады, егер кез келген М саны үшін номері табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса.

Әрбір комплекс сандар тізбегіне және нақты сандар тізбектері сәйкес келеді.

1-теорема. шегі бар болуы үшін, және шектерінің бар болуы қажетті және жеткілікті.

Жинақты комплекс сандар тізбектері үшін жинақты нақты сандар тізбектері үшін орындалатын қасиеттер орынды. Егер және болса, онда , , ал блса, онда .

2-теорема (Коши критерийі). тізбегі жинақты болуы үшін ол тізбектің фундаментальді болуы қажетті және жеткілікті, яғни кез келген саны үшін саны табылып, барлық және нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса.

3-теорема (Больцано-Вейерштрасс). Кез келген шенелген тізбектен кемінде бір ақырлы шегі бар болатын тізбекше бөліп алуға болады.

4-теорема. Кеңейтілген комплекс жазықтығында кез келген тізбектен кемінде бір ақырлы, әлде ақырсыз шегі бар болатын тізбекше бөліп алуға болады.

Комплекс сандар жиынын  символымен толықтау. (Риман сферасына) стереографикалық проекция кеңейтiлген комплекс сандар жиынын геометриялық бейнелеу ретінде, оның қасиеттерi. Екі бейнелеулерге сәйкес комплекс сандар жиынындағы екі метрика. Бекітілген дөңгелектің нүктелері үшін олардың эквивалентілігі.

Әрбір , , , комплекс саннына абсцисасы және ординатасы болатын нүктесі немесе ОМ векторы сәйкес келтіріледі. Векторларды қосу сәйкес комплекс сандарды қосуды білдірелі. Комплекс сандар бейнеленген жазықтық комплекс жазықтық деп, Х– осі нақты ось, ал У –жорамал ось деп аталады.Ақырлы комплекс жазықтық Сарқылы белгіленеді. нүктесімен толықтырылған комплекс жазықтық, кеңейтілгенкомплекс жазықтық деп , алол проекцияланатын сфера –Риман сферасы деп аталады.Кеңейтілген комплекс жазықтық символымен белгіленеді.Комплекс жазықтықтың және нүктелерінің ара қашықтығы аналитикалық геометриядан белгілі

(1)

формуламен анықталады. Басқаша айтқанда, (1) формула жазықтығында метриканы анықтайды.

Комплекс мүшелі сандық қатарлар. С-дағы қатардың жинақталуы мен екі нақты мүшелі қатарлардың жинақталуымен байланысы. Жинақталудың жеткілікті шарты. Абсолютті, шартты жинақталатын қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары, Коши, Д’аламбер белгілері. Комплекс облыстағы қатарлар теориясы математикалық анализ курсындағы қатарлар теориясы сияқты құрылады.Мүшелері комплекс сандар болатын

, (1)

қатары берісін.

, қатар мүшелері, ал —қатардың жалпы мүшесі деп аталады.

қосындыларын қатардың дербес қосындылары деп атайды.

А н ы қ т а м а. Егер сандық тізбегінің S-қа тең шегі бар болса, онда (1) қатары жинақталады, S саны (1) қатарының қосындысы дейді.

Бұл жағдайда «(1) қатары S санына жинақталады» деп те атайды. Қалған жағдайлардың әрқасысында, яғни тізбегінің , не ақырсыз шектері бар не ешқандай да шегі болмағанда, (1) қатары жинақталмайды, не жинақсыз дейді.

16-теорема (Қатар жинақтылығының қажетті шарты).

Егер қатары жинақталса, онда оның, жалпы мүшесінің шегі бар және нольге тең, яғни, .

С а л д а р (қатар жинақталмауының жеткілікті шарты). Егер қатардың.жалпы мүшесі нольге ұмтылмаса, онда қатар жинақталмайды.

Е.скерту. шарты қатар жинақталуының қажетті шарты бола тұрып, жеткілікті шарты емес: қатардың жалпы мүшесі нольге үмтылса да, қатар жииақталмауы мүмкін.

Теорема 17. Мүшелері комплекс сандар болатын қатары жинақталуы үшін, оның нақты және жорамал бөліктері болатын және қатарларының жинақталы қажетті және жеткілікті.

А н ы қ т а м а. (1) қатар абсолют жинақты деп аталады, егер оның мүшелерінің модульдерінен тұратын қатары жинақты болса.

Салыстыру белгісі. Егер барлық үшін болса онда жинақтылығынан жинақтылығы шығады.

Даламбер белгісі. Егер болып, болса (1) қатар абсолют жинақты, ал болса жинақсыз.