Аналитикалық функцияның шексіз аластатылған нүкте маңайында өзгеру тәртібі. Шексіз аластатылған жөнделетін оқшауланған, полюс, айрықша оқшауланған нүкте болуы.

Е жиынының әрбір элементіне Ғ жиынының бір элементіне сәйкес келетін ережені функция деп атаймыз. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы аналитикалық функция болсын, яғни, функциясы нүктесінде не аналитикалық емес, не анықталмаған. Осындай нүктесі оңашаланған айрықша нүкте деп аталады. Егер (5) қатардың бас бөлігінің барлық коэффиценттері нөлге тең болса, онда нүктесі жөнделетінайрықша нүкте деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

23-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының жөнделетін айрықша нүктесі болуы үшін шегінің бар болуы қажетті және жеткілікті. Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырлы болса, онда оңашаланған айрықша нүктесі полюсом деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

Осы жіктеудегі айырымының ең кіші дәрежесі болады. саны полюстің реті (немесе еселігі) деп аталады. Бірінші ретті полюс жай полюс деп аталады.

24-теорема. нүктесі функциясының -шы ретті полюсі болуы үшін ол нүктенің функциясының -шы ретті нөлі болуы қажетті және жеткілікті.

25-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының полюсі болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырсыз (шексіз) болса, онда елеулі айрықша нүкте деп аталады. Функцияның елеулі айырықша нүкте аймағындағы айтарлықтай толық сипаттамасын Сохоцкий теоремасы баяндайды.

26-теорема (Сохоцкий теоремасы). Егер - функциясының елеулі айрықша нүктесі болса, онда кез келген комплекс саны үшін, қоса есептегенде, нүктесіне жинақталатын тізбегі табылып, болады.

А н ы қ т а м а. нүктесі аналитикалық функциясының оңашаланған айрықша нүктесі болса, онда

, (7)

интегралының мәнін функцияның айрықша нү итктесі бойынша алынған қалындысы деп атайды.Мұндағы - нүктесін қамтитын, одан өзге айрықша нүктелерді қамтымайтын контур.Коши теоремасы бойынша, барлық осындай контулары үшін (7) интегралдың мәні бірдей.

30.Қалындылар. Қалындыны жай полюсте, ақырлы ерекше нүктелерде, еселі полюсте есептеу.

Қалындылар туралы негізгі теорема. Меншіксіз интегралдарды қалындар көмегімен есептеу.

27-теорема (қалындылар туралы теорема). Егер функциясының контурының ішінде оңашаланған айрықша нүктелері болса, онда теңдігі орындалады.

28-теорема. Бірмәнді оңашаланған айрықша нүктесіндегі қалынды функциясының дегі Лоран қатарының коэффицентіне тең, яғни

.

29-теорема. - функциясының жай полюсі болсын. және . Онда -тің нүктедегі қалындысы келесідей анықталады:

.

30-теорема. - функциясының ретті полюсі болсын. Онда -тің нүктедегі қалындысы келесідей анықталады:

.

А н ы қ т а м а. функциясының нүктедегі қалындысы деп Лоран қатарындағы бірінші теріс дәреженің қарама-қарсы таңбамен алынған коэффицентін атайды, яғни .