Лоран катары, оның жинақталу облысы. Сақинаның ішінде голоморфты функцияны Лоран қатарына жiктеу.

Дөңгелек ішінде аналитикалық функцияның Тейлор қатарына жіктелетінін көрдік. Көпшілік жағдайда нүктесінің өзінен басқа, ол нүктенің маңайындағы аналитикалық функцияларды қарастыруға тура келеді. Яғни, функциясы сақинада аналитикалық болсын. Осы функцияны көрсетілген облыста жіктеуде алынған қатар Лоран қатары деп аталады.

22-теорема (Лоран теоремасы). Егер функциясы сақина ішінде бірмәнді аналитикалық функция болса, онда ол осы сақинаның ішінде мына Лоран қатарына жіктеледі:

, (5)

Бұл қатарда айырманың оң дәрежелері де, теріс дәрежелері де бар.

Лоран қатарының коэфициенттері жалпы түрде келесі формуламен анықталады:

, (6)

мұндағы сызығы нүктесін қамтитын сақинда жатқан кез келген тұйық сызық.

• Лоран қатары екі қатар қосындысы арқылы өрнектеледі. Олардың біріншісі Лоран қатарының бас юөлігі, ал екіншісі дұрыс бөлігі деп аталады.

• Лоран қатары жинақтылық сақинасында абсолют жинақты болады.

• Лоран қатары жинақтылық сақинасының ішінде жататын кез келген тұйық сақинасында абсолют және бірқалыпты жинақты болады.

• Лоран қатарын толығымен жинақтылық сақинасының ішінде жататын кез келген контур бойынша мүшелеп интегралдауға; жинақтылық сақинасының ішінде мүшелеп, барлық ретті туындысын алуға болады.

• Лоран қатарына жіктеу жалғыз, яғни, егер функциясы сақинасында

қатарына жіктелсе, онда коэффиценттері (6) формуламен анықталады.

Голоморфты функциялардың оңашаланған нүктелерi. Олардың Лоран қатары негізінде классификациялау. Жөнделетін оқшауланған ерекше нүкте болу критерийі. Полюс болукритериі, Сохоцкий теоремасы. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы аналитикалық функция болсын, яғни, функциясы нүктесінде не аналитикалық емес, не анықталмаған. Осындай нүктесі оңашаланған айрықша нүкте деп аталады. Егер (5) қатардың бас бөлігінің барлық коэффиценттері нөлге тең болса, онда нүктесі жөнделетін айрықша нүкте деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

23-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының жөнделетін айрықша нүктесі болуы үшін шегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырлы болса, онда оңашаланған айрықша нүктесі полюсом деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады. Осы жіктеудегі айырымының ең кіші дәрежесі болады. саны полюстің реті (немесе еселігі) деп аталады. Бірінші ретті полюс жай полюс деп аталады.

25-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының полюсі болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.

26-теорема (Сохоцкий теоремасы). Егер - функциясының елеулі айрықша нүктесі болса, онда кез келген комплекс саны үшін, қоса есептегенде, нүктесіне жинақталатын тізбегі табылып, болады.

А н ы қ т а м а. нүктесі аналитикалық функциясының оңашаланған айрықша нүктесі болса, онда

, (7)

интегралының мәнін функцияның айрықша нүктесі бойынша алынған қалындысы деп атайды.

Мұндағы - нүктесін қамтитын, одан өзге айрықша нүктелерді қамтымайтын контур.Коши теоремасы бойынша, барлық осындай контулары үшін (7) интегралдың мәні бірдей.