Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте закони ньютона.

2. Яка система відліку називається інерційною?

3. Яке рівняння називається основним рівнянням динаміки?

4. Що ми розуміємо під матеріальною точкою?

5. Мірою якої властивості матерії являється маса?

6. Які рухи матеріальної точки називаються рухом по інерції?

7. Які рівняння називаються диференціальними рівняннями руху вільної матеріальної точки?

8. Які рівняння називаються натуральними рівняннями руху вільної матеріальної точки?

9. Сформулюйте дві основні задачі динаміки матеріальної точки.

Висновок по темі: Рух матеріальної точки буде прямолінійним, якщо положення лінії дії сили буде залишатися незмінним, а початкова швидкість точки буде або співпадати з лінією дії сили, або дорівнювати нулю.

3.2 Коливний рух точки

В даній темі при її вивченні необхідно звернути увагу на основні характеристики вільних (гармонічних) коливань: амплітуду, частоту, період, фазу.

Розглянути вільні затухаючі коливання.

Ознайомитись із поняттям резонансу.

Вивчити збурені коливаннями матеріальної точки без урахування опору середовища.

Розглянути приклад розв’язання задач про коливний рух точки.

Завдання:

Пружина АВ закріплена одним кінцем в точці А. Для її подовження на 1 см потрібно прикласти в точці В при статичному навантаженні силу в 20 г.

В деякий момент до нижнього кінця недеформованої пружини підвішують гирю вагою Р = 100 г і відпускають її без початкової швидкості. Нехтуючи масою пружини, написати рівняння дальшого руху гирі і визначити амплітуду та період її коливань: віднести рух гирі до осі, приведеної вертикально вниз з положення статичної рівноваги гирі.

Розв'язання.

Розглянемо гирю як матеріальну точку. Вибираємо за початок осі X точку В₁, де знаходиться центр ваги гирі при її статичній рівновазі, і направляємо вісь х по вертикалі вниз (рис. 1.) Позначимо через _ст подовження пружини в положенні В₁, статичної рівноваги гирі, через Х переміщення гирі від цього положення. Тоді загальне положення пружини в довільному положенні. В гирі при її русі буде: _ст + х.

Оскільки сила пружності F пружини пропорційна її загальному подовженню, то величина цієї сили становитиме:

_ст.+ х)

де с - коефіцієнт пропорційності

Направлена сила пружності пружини завжди проти її деформації; тому при положенні гирі в точці В, коли X додатне, сила пружності спрямована вверх, а проекція її на вісь X буде від'ємною. На гирю діють сила ваги Р та сила F пружності пружини. Сума проекцій цих сил на вісь X дорівнює Р-F. Таким чином, диференціальне рівняння руху гирі по осі X буде:

тх = Р - F або тх = Р – с( _ст + х).

Враховуючи, що в положенні статичної рівноваги гирі Р = с _ст , одержимо рівняння в такому вигляді:

х + х = 0 або х + к² х= 0 , де = .

Розв'язання рівняння (1) відоме:

х = С₁ coskt + С₂ sinkt. (2)

Сталі інтегрування С₁ і С₂ знайдемо з початкових умов руху.

При t = 0 координата Х₀ = _ст ; швидкість Х₀ = 0 .

Для того, щоб використати ці умови, знаходимо також загальний вираз швидкості:

(3)

Підставляючи початкові дані в рівняння (2) та (3) знайдемо:

С₁ = X₀ = - _ст. , С₂ = X₀ = 0.

Таким чином, при розв'язанні диференційного рівняння (1) остаточно буде:

,

де ;

Амплітуду коливань знаходимо за формулою:

Період коливань

При розгляді даної теми необхідно використовувати посібник: В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003. Стор 234 – 253.

Теоретичні відомості

Коливний рух точки

1. Основні характеристики вільних (гармонічних) коливань.

2. Вільні затухаючі коливання.

3. Збурені коливання матеріальної точки без урахування опору середовища.

Література

1. В.В. Цасюк Теоретична механіка. –Львів: Афіша, 2003.

2. Е.М. Нікітін Теоретична механіка. – М: Наука, 1983.

1. Основні характеристики вільних (гармонічних) коливань.

Механічні рухи, які періодично повторюються, називаються механічними коливаннями. На матеріальну точку можуть діяти оновлююча сила, яка намагається повернути точку в положення рівноваги, сила опору руху, яка залежить від швидкості точки, і збурююча сила, задана функцією часу.

Залежно від комбінації цих сил розглянемо три види коливального руху матеріальної точки :

• вільні коливання під дією тільки лінійної поновлюючої сили;

• згасаючі коливання під дією поновлюючої сили й сили опору;

• вимушені коливання під дією поновлюючої сили і збурюючої сили;

Вільними коливаннями матеріальної точки називають її коливання під дією сил, зумовлених початковими умовами: відхилення точки від положення рівноваги або надання їй початкових швидкостей.

Рис. 1

Розглянемо прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією тільки сили , спрямованої до нерухомого центра О і пропорційної відстані точки М від центра О: (лінійна залежність) (рис. 1).

Сила намагається повернути точку М у положення рівноваги О, де , тому сила називається поновлюючою силою. Прикладом такої сили є сила пружності пружини.

Визначимо закон руху точки М, тобто закон зміни координати х за часом.

Запишемо диференційне рівняння руху точки за часом у проекції на вісь х:

; , або , ; ,

де , — колова (власна) частота коливань матеріальної точки масою m, вимірюється в рад/с;

с – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини, що чисельно дорівнює силі, яку необхідно докласти до пружини, щоб змінити її довжину на одиницю (вимірюється в н/м).

Закон коливань точки М має вигляд (рішення диференційного рівняння коливань):

, ,

де А і В – постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов.

Початкові умови: при t=0; x=x ; .

Враховуючі початкові умови, маємо: ; .

Остаточно закон коливань точки М має вигляд

.

Якщо замість постійних інтегрування А і В, ввести постійні a і так, щоб , , отримаємо закон коливань у вигляді ,

де і також визначаються з початкових умов.

При t=0

, .

Тоді ‑ амплітуда коливань, що дорівнює найбільшому відхиленню точки М від центра D і залежить від початкових умов,

,

‑ початкова фаза коливань, яка також залежить від початкових умов.

Розглянутий прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією сили , величина якої пропорційна відхиленню точки від положення статичної рівноваги, є гармонійний коливальний рух з власною коловою частотою періоди .

Період коливань Т – проміжок часу між двома послідовними проходженнями точки через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку.

Колова частота власних коливань К і їх період Т не залежать від початкових умов і амплітуди коливань а. Коли одночасно початкові умови дорівнюють нулю , то х=0, тобто вільні(власні) коливання не виникають.

Графік вільних коливань наведений на рис. 2. На цьому графіку відмічені початкове відхилення х₀ амплітуди коливань а та період Т.

Рис. 2.

Рух, який має такі властивості називається таутохронним, а оскільки період не залежить від амплітуди, він також є ізохронним.