2. Найпростіші рухи твердого тіла.

Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, що проведена в цьому тілі, переміщується паралельно сама собі.

Поступальний рух не слід підміняти прямолінійним. При поступальному русі тіла траєкторії його точок можуть бути будь-якими кривими лініями.

Властивості поступального руху визначаються наступною теоремою: при поступальному русі всі точки тіла описують однакові (такі, що співпадають при накладанні) траєкторії і мають в кожний момент часу однакові за модулем і напрямком швидкості та прискорення.

Розглянемо тверде тіло, яке здійснює поступальний рух відносно системи відліку Oxyz. Візьмемо в тілі дві довільні точки А і В, положення яких в момент часу t визначається радіус-векторами і . Проведемо вектор , який з’єднує ці точки. Отримаємо:

(4,1.1)

Д о того ж довжина АВ стала, а напрям залишається незмінним, оскільки тіло рухається поступально. Таким чином, вектор протягом всього руху залишається сталим. Внаслідок цього траєкторію точки В отримують з траєкторії точки А паралельним переміщенням всіх її точок на сталий вектор . Таким чином траєкторії точок А і В будуть дійсно однакові криві.

Щоб знайти швидкості необхідно взяти диференціал від обох частин рівності (4.1.1) по часу. Отримаємо:

.

Але похідна від сталого вектора дорівнює нулю. Похідні від векторів і по часу дають швидкості точок А і В. Таким чином

,

тобто швидкості точок А і В у будь-який момент часу однакові і за модулем і за напрямком. Ще одна похідна по часу дасть нам

або ,

тобто прискорення точок А і В у будь-який момент часу однакові і за модулем і за напрямком. Оскільки точки були вибрані довільно, то висновки можна поширити на всі точки тіла. Теорема доведена.

З доведеної теореми випливає, що поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом однієї його точки. Таким чином, задача вивчення поступального руху тіла зводиться до розглянутої раніше задачі кінематики точки.

Швидкість і прискорення, загальні для точок тіла, що рухається поступально, називаються швидкістю і прискоренням цього тіла.

3. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

Обертальним рухом називається такий рух твердого тіла, при якому будь-які дві його точки (чи незмінно з ним пов’язані), залишаються нерухомими протягом всього руху. Пряма, що проходить через ці точки називається віссю обертання.

П ри обертальному русі тіла різні його точки рухаються по різному. Однак і для обертального руху можна знайти такі кінематичні характеристики, які були б загальними для всіх точок тіла

Нехай будь-яке тверде тіло обертається навколо нерухомої осі z. Проведемо через вісь обертання z нерухому площину Р і площину Q, яка незмінно пов’язана з тілом, що обертається.

Кут  між нерухомою площиною, яка проходить через вісь обертання, і площиною, яка незмінно пов’язана з тілом, що обертається і також проходить через вісь обертання, називається кутом повороту або кутовим переміщенням даного тіла.

Кут  будемо вважати додатнім, якщо він відкладається від нерухомої площини проти годинникової стрілки. Вимірюється кут  завжди у радіанах.

При обертанні тіла навколо осі z кут повороту змінюється протягом часу, значить він є функцією часу

.

(4.2.1)

Рівняння (4.2.1), яке встановлює залежність між кутом повороту тіла і часом його руху, називається рівнянням (законом) обертального руху тіла.

Основними кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є його кутова швидкість  і кутове прискорення .

Якщо за проміжок часу t тіло здійснює поворот на кут , то відношення приросту  кута повороту тіла за деякий проміжок часу t до величини цього проміжку називається середньою кутовою швидкістю тіла за цей проміжок часу:

.

(4.2.2)

Кутовою швидкістю тіла в даний проміжок часу називається границя, до якої прямує середня кутова швидкість, якщо даний проміжок часу прямує до нуля:

або .

(4.2.3)

Таким чином, кутова швидкість тіла в даний момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кута повороту по часу.

Кутову швидкість тіла зображають у вигляді вектора , який напрямлений вздовж вісі обертання тіла в той бік, звідки обертання буде видно проти годинникової стрілки.

Кутове прискорення характеризує зміну кутової швидкості тіла з часом.

Якщо за проміжок часу t кутова швидкість змінюється на величину , то відношення приросту кутової швидкості тіла  за деякий проміжок часу t до цього проміжку називається середнім кутовим прискоренням:

.

(4.2.4)

Кутовим прискоренням тіла в даний момент часу t називається величина, до якої прямує значення _ср, якщо проміжок часу t прямує до нуля:

.

(4.2.5)

Отже, кутове прискорення тіла в даний момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другій похідній від кута повороту по часу.

Кутове прискорення тіла також можна зобразити у вигляді вектора, який напрямлений вздовж вісі обертання. Напрям вектора співпадає з напрямом вектора , якщо тіло обертається прискорено і протилежно при уповільненому обертанні.

П ри обертання тіла навколо нерухомої осі всі його точки описують кола, які лежать у площинах, перпендикулярних до осі обертання z. Центри цих кіл лежать на осі обертання, а радіус кожного з них дорівнює відстані відповідної точки тіла до осі обертання.

Нехай точка М знаходиться на відстані r від осі обертання z. Якщо за час dt відбувається елементарний поворот тіла на кут d, то точка М здійснить елементарне переміщення . Тоді швидкість точки буде дорівнює відношенню

або .

(4.3.1)

Швидкість  називають лінійною швидкістю точки М. Чисельне значення швидкості твердого тіла, що обертається, дорівнює добутку кутової швидкості на відстань цієї точки від осі обертання.

Вектор швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії точки в бік руху точки. Оскільки для всіх точок тіла  має в даний момент часу одне значення, то з формули (4.3.1) випливає, що лінійні швидкості точок тіла, що обертається, пропорційні їх відстаням від осі обертання.

Щоб знайти прискорення точки М скористаємося формулами

і .

(4.3.2)

Підставивши в цю формулу значення (4.3.1) і врахувавши, що , маємо:

, .

(4.3.3)

Повне прискорення точки М буде

.

(4.3.4)

В ідхилення вектора повного прискорення від радіуса кола, що описує точка, визначається кутом , який обчислюється за формулою

.

(4.3.5)

Формули (4.3.1) – (4.3.5) дозволяють визначити швидкість і прискорення будь-якої точки тіла, якщо відомий закон обертання тіла і відстань даної точки від осі обертання. По цим самим формулам можна за відомим законом руху однієї точки тіла, знайти рух будь-якої іншої точки тіла, а також характеристики руху тіла в цілому.

В результаті вивчення теми слухачі повинні

Знати :

• завдання руху твердого тіла;

• найпростіші види руху твердого тіла: поступальний і обертальний;

• кінематичні характеристики: швидкість і прискорення точок тіла що обертаються навколо нерухомої осі.

Вміти:

• визначати кінематичні характеристики обертального руху.