3. Основні кінематичні характеристики руху точки.
Визначимо кінематичні характеристики руху матеріальної точки при координатному способі опису її руху.
Траєкторія руху.
Рівняння (2.8) та (2.9) фактично є рівняннями траєкторії руху матеріальної точки у параметричній формі, в яких, як було сказано вище, роль параметра відіграє час . Для знаходження траєкторії руху у звичайній формі необхідно виключити з рівнянь руху час t, тобто здобути залежність між самими координатами. Це можна зробити декількома способами. Наприклад, підстановкою або піднесенням обох частин рівнянь до квадрату та по членним додаванням (якщо рівняння містять тригонометричні функції).
Приклад.
рух матеріальної точки заданий рівняннями:
де х і у - в [см], t - в [с].
Визначити траєкторію руху точки.
Розв'язування.
Рівняння траєкторії руху можна визначити, якщо вилучити час t з рівнянь руху. Перепишемо рівняння руху матеріальної точки таким чином:
Підносячи до квадрату і додаючи окремо ліві і праві частини цих виразів, матимемо:
або
.
Отже, рівнянням траєкторії руху матеріальної точки буде рівняння кола радіусом R=3 [см] з центром у початку координат.
Швидкість руху
Для визначення швидкості руху матеріальної точки при координатному способі задання використаємо основні положення, які були отримані при розгляді векторного способу задання руху матеріальної точки. З цією метою підставимо вираз (2.2) у вираз (2.4), матимемо:
. (2.11)
з
іншого боку, вектор швидкості
(як і будь-який інший вектор) можна у
прийнятій системі координат Oxyz
представити через його проекції на осі
координат. А саме:
, (2.12)
де
і
- проекції вектора швидкості на відповідні
осі координат.
Якщо розглянути
вирази (2.11) і (2.12), то можна побачити, що
є можливість прирівняти коефіцієнти
при одиничних векторах
і отримати такі вирази:
(2.13)
Таким чином, проекції вектора швидкості матеріальної точки на координатні осі дорівнюють першим похідним по часу від відповідних координат.
Якщо відомі проекції вектора на осі координат, то є можливість скласти їх геометрично і отримати модуль вектора швидкості. Матимемо:
. (2.14)
Напрямок вектора швидкості визначається через напрямні косинуси:
(2.15)
Прискорення руху.
Для визначення
прискорення руху матеріальної точки
при координатному способі задання руху
поводимося аналогічно, як і в випадку
визначення швидкості руху. А саме:
значення радіус-вектора
(2.2) підставимо у вираз (2.7), визначимо
другу похідну і знайдемо прискорення
. (2.16)
З іншого боку, вектор прискорення можна у прийнятій системі координат Oxyz под
ати у вигляді його проекцій на осі координат. А саме:
. (2.17)
Якщо порівняти (2.16) і (2.17), то можна написати такі співвідношення:
. (2.18)
Таким чином, проекції вектора прискорення матеріальної точки на осі координат дорівнюють другим похідним по часу від відповідних координат.
Якщо відомі проекції вектора прискорення на осі координат, то є можливість скласти їх геометрично і отримати модуль самого вектора. Матимемо:
. (2.19)
Напрямок вектора також визначається через напрямні косинуси:
(2.20)
Таким чином, при координатному способі задання руху матеріальної точки, якщо цей рух здійснюється у просторі, її швидкість і прискорення визначаються відповідно за допомогою виразів (2.13), (2.14), (2.15), (2.18), (2.19) і (2.20). Якщо рух здійснюється у площині, то у всіх цих формулах відкидається одна координата, а якщо прямолінійно, то відкидаються дві координати.
В результаті вивчення теми слухачі повинні
Знати :
основні поняттями та визначення в кінематиці;
способи опису руху точки: векторний, координатний, натуральний;
кінематичні характеристики руху точки: швидкість і прискорення.
Вміти:
Визначати траєкторії руху точки.