2. Формули радіуса вектора і координат центра паралельних сил.

Припустимо, що до тіла у точках прикладена система паралельних сил , яка зведена до рівнодійної сили , що прикладена у точці (рис. 2). Виберемо просторову декартову систему координат так, щоб б одна з осей (наприклад, вісь ) була паралельна заданим силам. Знайдемо моменти усіх сил відносно осей координат і .

Рис. 2.

Позначимо у прийнятій системі координат координати точок прикладання сил , , , ..., і – точка прикладання рівнодійної .

Обчислимо спочатку моменти всіх сил відносно осі . Оскільки

,

то за теоремою Вариньона

,

а тому

. (1.143)

Звідки координата буде дорівнювати

. (1.144)

Аналогічно визначимо моменти усіх сил відносно осі . Матимемо

, (1.145)

звідки координата буде дорівнювати

. (1.146)

Далі повернемо всі сили на один і той же кут в один бік (наприклад, на кут 90^о, перпендикулярно до площини ). Положення точки , як відомо, при повороті усіх сил на один і той же кут, в один і той же бік не змінюється. Також обчислимо моменти усіх сил відносно осі . Матимемо

, (1.147)

звідки координата буде дорівнювати

. (1.148)

Таким чином, остаточно отримаємо формули для координат центра паралельних сил

, , . (1.149)

3. Центр ваги твердого тіла і плоскої фігури.

На довільну частинку тіла, яке розміщене поблизу поверхні землі, діє сила, що має вертикальний донизу напрямок і яка має назву сила ваги (або просто ваги). Якщо вважати радіус землі достатньо великим (6,4 тис. км), то для тіл, розміри яких у порівнянні з цим радіусом є малими, сили вали (тяжіння), що діють на частинки тіла, можна вважати паралельними, вони зберігають свою власну величину, незважаючи на будь-які повороти тіла.

Рис. 3.

Маємо тіло, яке умовно можна поділити на декілька частин (рис. 1.58). Кожна частина має силу ваги . Як бачимо, це є система паралельних сил, рівнодійну якої можна знайти. Використовуючи (1.142), визначаємо цю рівнодійну

. (1.150)

При будь-якому повороті тіла сили залишаються прикладеними до тих же самих точок і залишаються паралельними між собою. Змінюється лише напрямок цих сил по відношенню до тіла. А тому рівнодійна буде при довільному повороті тіла прикладена у точці, яка є центром паралельних сил. Ця точка має назву центра ваги тіла.

Таким чином, центр ваги тіла – це точка, яка незмінно пов'язана з цим тілом, в якій прикладена сила тяжіння тіла і яка не змінює свого положення при повороті тіла на довільний кут.

Визначимо координати центра ваги як центра паралельних сил на підставі виразів (1.149), а саме

, , , (1.151)

де і - координати прикладання сили тяжіння частини тіла .

Якщо тіло є однорідним, то вага кожної частини пропорційна її об'єму, а саме

, (1.152)

де - питома вага (вага одиниці об'єму); - об'єм частини тіла.

вага усього тіла визначається за такою формулою

, (1.153)

де - об'єм тіла; - питома вага тіла.

Тепер підставимо (1.152) і (1.153) у (1.151). Причому питома вага , як загальний множник, скорочується. Отримаємо:

. (1.154)

Аналогічно поводимось і при визначенні двох інших координат. остаточно матимемо координати центра ваги об'єму:

, , . (1.155)

Як бачимо, центр ваги однорідного тіла залежить тільки від його геометричної форми. А тому, вираз (1.155) носить назву – центр ваги об'єму.

Рис. 4

Тепер, якщо розглядати тіло, яке є пластиною (рис. 4), товщина якої відносно мала, то координата центра її ваги буде дорівнювати . Для визначення двох інших координат використаємо вирази (1.151). Пластину треба уявити у вигляді декількох частин, які мають власну вагу. Далі вважаємо, що вага кожної частки пластини буде дорівнювати

, (1.156)

де - питома вага (вага одиниці об'єму); - товщина пластини; - площа частини пластини.

Вага всієї пластини буде дорівнювати

, (1.157)

де - площа пластини.

Тепер підставимо (1.156) і (1.157) у перші два вирази (1.151). Зробимо це спочатку для координати , отримаємо

. (1.158)

таким же чином обчислимо значення і другої координати . Остаточно матимемо координати центра ваги тонкої пластини

, . (1.159)

Точка, координати якої визначаються формулами (1.159), має назву центра ваги площі.

В результаті вивчення теми слухачі повинні

Знати :

• послідовне складання паралельних сил;

• поняття центр паралельних сил та центр ваги твердого тіла і плоскої фігури;

• способи визначення координат центра ваги тіла;

• формули радіуса вектора і координат центра паралельних сил;

• порядок знаходження центра ваги елементарних плоских фігур.

Вміти:

• розв’язувати задачі з задач з використанням формул для знаходження центра ваги плоскої фігури.