Контрольные вопросы

В.1. Что такое электроэнергетическая система?

В.2. Что такое режим электрической системы, параметры режима, параметры си­стемы?

В.З. Виды режимов ЭЭС.

В.4. Что понимают под возмущающими воздействиями и возмущениями?

В.5. Избыточная энергия. Обобщенный критерий устойчивости ЭЭС.

В.6. Дать определение статической, динамической и результирующей устойчиво­сти ЭЭС.

В.7.Что означает потеря устойчивости ЭЭС ?

1. Описание переходных процессов в электроэнергетических системах

При исследовании устойчивости электроэнергетических систем необ­ходимо уметь составлять описание переходных процессов в них. В данной главе рассматриваются вопросы, связанные с описанием переходных про­цессов в отдельных элементах электроэнергетической системы: синхрон­ных генераторах, нагрузках, электрической сети, системах регулирования возбуждения генераторов, первичных двигателях, системах регулирования скорости и частоты и в системе в целом.

1Л. Описание переходных процессов в синхронных генераторах

1ЛЛ. Уравнения генератора е системе координат d, q, О

Электромагнитное состояние трехфазного синхронного генератора, имеющего по одному эквивалентному демпферному контуру в продольной и в поперечной оси ротора, в фазных переменных описывается следующей системой уравнений:

• (1.1)

  уравнения напряжений обмоток статора

~v/		иА		г	0	0“	1.4
	— —	ив	-	0	г	0	‘в
Ус_		^с		0	0	г	}с_

d

dt

(1.2)

уравнения напряжений обмоток ротора

Xff		Uf		7	0	0	[f
Vd	=	0	-	0	rD	0	h)
Vo		0		0	0	rQ_	_lQ

d_

dt

• (1.3)

  уравнения потокосцеплений обмоток статора

		4
Vb	^cc	hi	+ Lcp	h)
Ус_		Jc_		Jq_

• уравнения потокосцеплений обмоток ротора

>/				V
'I'd	-^рс	ч>>	+ ^рр	Ч)
_¥е_		}с _		JQ.

(1.4)

Здесь А, В, С - индексы фазных обмоток статора генератора;

f,D,Q - индексы обмоток ротора: обмотки возбуждения, продоль­ной и поперечной эквивалентных демпферных обмоток;

i_A,i_B,i_c, ^иА’ ^иВ’^иС’УА’УВ’Ус ' мгновенные значения токов, напря­жений и потокосцеплений обмоток статора генератора;

n _f, ij-,i_D,ig, \\ij-,\\t_D,\\iQ - мгновенные значения напряжения, токов и

потокосцеплений обмоток ротора;

г, /у, r_D, ]-q - активные сопротивления фазной обмотки статора и об­моток ротора;

L_cc, L_cp, L_pc, L_pp - матрицы индуктивностей обмоток статора и ро­

тора.

Матрица индуктивностей обмоток статора

2п

2тс

/₀ + /₂ cos2y -w₀+/₂ cos^2y--y

—/77 о + /₂COS

2у +

/₀ +/₂cos

-m₀ +/₂ cos2y

^сс

^ 271^л 2y

. 3 ,

2y + —I -w₀+/₂ cos2y

-тц + l₂ cos

/₀ +/₂cos

Элементы этой матрицы записаны в виде разложений в ряд Фурье. Имеют постоянную составляющую и вторую гармонику с амплитудным значением /₂. Реальные машины стремятся сконструировать именно таким образом, чтобы других гармоник не было. У генераторов с симметричным в магнитном отношении ротором (неявнополюсные генераторы) /₂ = 0.

Угол у характеризует положение оси d ротора генератора во враща­тельном движении по отношению к неподвижной оси симметрии фазы А (рис 1.1).

Рис. 1.1. Геометрические оси статора и ротора генератора Матрицы взаимных индуктивностей обмоток статора и ротора:

L_afc°s у

L_aZ)cosy

L_aQsin у

Kq ^sin

^Laf^C0S

4>D^C0S

ср

3

\

3 j

3

2л

т

v 3 у 2тг^Л у + —

V 3 у

V

^f 2тг^Л

У + -г

2 тг^Л Y + —

^LaQ^s in

V^cos

^LaD^C0S

/

/ ₌ / '

рс ср •

Здесь L_af ,L_aD,L_a(j - взаимные индуктивности фазной обмотки статора

(индекс а) с обмотками ротора при совпадении магнитных осей соответ­ствующих обмоток.

Матрица индуктивностей обмоток ротора

	1	LfD	1 о
ь ТЗ II	LfD	ld	0 ,
	1 о	0	1

^JfD

где Lj,L_d,Lq - собственные и L_fD - взаимные индуктивности обмоток ро-

тора.

Уравнения синхронного генератора в фазных переменных (1.1)-(1.4) с учетом матриц индуктивностей обмоток достаточно сложны и неудобны для анализа режимов больших электрических систем. Известна более про­стая форма уравнений генератора, предложенная Парком и независимо от

него Горевым, в которой фазные величины токов, напряжений и потокос- цеплений заменены так называемыми обобщенными переменными.

Если сумма фазных токов генератора равна нулю

i. \ + ¹в ⁺ⁱc =0,

то можно ввести некоторый вращающийся обобщенный вектор тока стато­ра /, такой, что его проекции на оси фаз (рис. 1.2) равны соответствующим мгновенным значениям фазных токов.

Рис. 1.2. Обобщенный вектор тока и фазные токи статора

Если сумма фазных токов генератора не равна нулю /1 “I^- ij> “I^- /^' — 3 /₀ 0, то обобщенный вектор тока связывают с составляющими токов фаз, рав­ными

^гА ^{= 1}А ~ ''() h ^{= _ г} 0 ¹С ^{= г}С ^{_ г}0

В любом случае обобщенный вектор тока связан с бегущим полем ре­акции статора. Токи /₀ не участвуют в образовании этого поля, а также

электромагнитного момента генератора. К тому же для генераторов, рабо­тающих в ЭЭС, создаются условия, при которых составляющие /₀ его фаз­ных токов очень малы.

Обобщенный вектор тока I может быть представлен также своими проекциями в некоторой прямоугольной (декартовой) системе координат, вращающейся в общем случае с некоторой скоростью со_к. Такую систему координат либо совмещают с осями ротора генератора в электрическом

движении - система координат (d,q), либо считают неподвижной - система координат (а,(3), совмещая ось а с осью фазы А (рис. 1.3). При анализе пе­реходных электромеханических процессов больших ЭЭС обычно исполь­зуются уравнения генераторов, записанные в системах координат (d,q) их роторов. Поэтому система координат (а,(3) в дальнейшем рассматриваться не будет.

Рис. 1.3. Проекции обобщенного тока в системах координат (d,q) и (а,Р)

Исходя из изложенных выше представлений, можно установить, что преобразование системы токов i_A,i_B,i_c в систему токов i_d, i /₀ и обратно

осуществляется с помощью следующих соотношений [2]:

(	2тгЛ		f	2лЛ
у-		cos	у +	—
V	3 у		V	3 у
/	2тх		(	2тх
у-		sin	у +
V	3 )			3 у

cos у COS

2

2

		ЧГ
			2
и	= п	h	, где п = -	sin у
Jo.		Jc_		1

2

(1.5)

1 1
	-1
1в	= п	h
Jc_		Jo _

где п

-1.

(1.6)

	/	2n	\		/	2n	\
COS	y-			sin	y-
	V	3	J		V	3	)
	f	2n	\		/	2ti	\
COS	y +			sin	y +
	V	3	J		V	3	)

cos у

siny

В уравнения генератора (1.1) - (1.4) входят также напряжения и пото- косцепления обмоток статора. Обобщённые значения напряжений u_d, u_q, и₀ и потокосцеплений Vc/>V^Vo вводятся аналогично токам с од­ной и той же матрицей преобразования п.

Учитывая, что

V₍/

V₉

Vo

Ул

Vs

Vc

d

dt

d

dt

d n

-l

n

dt

Vrf		Vd
	, -l d
v9	+ n — dt	V9 ,
Vo _		_Vo_

-l

и заменив в (1.1), (1.3), (1.4) с помощью (1.6) фазные значения обобщён­ными, получим

7

Vj

V₉

Vo.

(1.8)

+ п L

‘D

^lQ

(1.9)

Vj

Ud

d n'1 - ii dt

Vj

r

0

0"

h

d_ dt

V9

= -

uq

V9

- n

0

r

0

n'1

h

; (1.7)

_Vo _

_Uo_

_Vo _

0

0

r

jo.

-1

>/		*d		V
Vz>	= L n 1 pc	h	+ L pp	' d
_ve_		jo.		jo.

п L п

СС

ср

Выполним подстановку в (1.7) - (1.9) матриц L и п и необходимые действия над ними, сгруппируем уравнения потокосцеплений по осям, то­гда с учетом (1.2) уравнения генератора в системе координат d, q, 0 при­мут вид:

Vd

ud

" 0

1

0"

Vj

r

0

0~

ld

V9

= -

uc

-CO

-1

0

0

V*

-

0

r

0

lci

_Vo _

_Uq_

0

0

0

_Vo _

0

0

r

jo.

d_

dt

(1.10)

V/		uf		rf	0	0
Vd	=	0	-	0	rD	0	h)
Vo		0		0	0	rQ.	Jq

d_

dt

(1.11)

L„

Vd

V/

'I'd.

-L

L_f Z,

2 ^af

LCiD	hi
LfD	4	; (1.12)
Ld	Jd_

— T T

2 ^baD fD

		" 1я	LaQ
_¥e_		—L _2 LaQ	lq_	Jq

Vo ^- h

(1.13)

(1.14)

L₀ -I₀ 2m₀.

Здесь L_d -/₀ + m₀ +— /₂; L_q - l₀ + m₀ /₂;

d

a

f

D

w,

u

f.

~u_d

a q

Рис. 1.4. Обмотки генератора в продольной и поперечной осях

Из уравнений потокосцеплений следует, что генератор можно пред­ставить в виде двух групп эквивалентных обмоток (рис. 1.4). При этом вза­имоиндукция обмоток по оси d с обмотками по оси q отсутствует.

2. Уравнения генератора е относительных единицах

Переход к относительным единицам в уравнениях генератора (1.10) — (1.14) осуществляется с помощью соотношений вида

• = V₆K,

где V - исходный параметр режима: ток, напряжение, потокосцепление, угловая скорость ротора; V₆, F* - базисная и относительная величины па­раметра.

Подставив такие соотношения для всех параметров режима в исход­ную систему уравнений, получим систему уравнений, связывающую пара­метры режима в относительных единицах. При этом базисные значения параметров режима (константы) следует объединить с уже имеющимися коэффициентами уравнений.

Описанная процедура является процедурой преобразования систем уравнений путем масштабирования переменных. В принципе базисные ве­личины (масштабы) параметров режима можно задавать произвольно. Од­нако на практике следует воспользоваться одной из систем относительных единиц. Основу системы относительных единиц как раз и составляет спо­соб задания всех необходимых базисных величин. Для генератора предло­жено несколько систем относительных единиц. Выбор базисных величин для обмоток статора у них совпадает. Различия имеются в выборе базис­ных величин для обмоток ротора. Далее будет использоваться одна из си­стем относительных единиц, имеющая широкое распространение, в кото­рой базисные значения токов обмоток ротора выбираются так, чтобы в от­носительных единицах обеспечивалось x_ad = x_af = x_aD, x_aq = х_ад.

В этой системе относительных единиц часть базисных величин для статора задаётся следующим образом:

• базисное напряжение обмоток статора полагается равным амплитуде

номинального напряжения U₆ = д/2/3 U_H;

• базисный ток обмоток статора полагается равным амплитуде номи­нального фазного тока /_б = V2 /_н;

• базисная мощность принимается равной номинальной мощности гене­ратора S₆ = S_H = 4зи_н1_н = 1,5 и_б1_б;

• базисная угловая скорость ротора генератора в электрическом движе­нии принимается равной номинальной угловой скорости со _б = со ₀.

Остальные базисные величины, относящиеся к статору, рассчитыва­ются, исходя из соотношений:

Uq = Z₆I₆ = \|/_б со_б; Zq=R₆=X₆=Lq со_б; \|/₆=Z₆7₆; iSg = /g = ly^COg ; COg=CXg?Q,

где М_б - базисная величина момента для генератора с одной парой полю­сов (или приведенного к одной паре полюсов); а_б - базисное ускорение ротора.

Следует отметить, что каталожные значения относительных сопро­тивлений генераторов приводят именно при таких базисных величинах.

Для обмотки возбуждения задается только базисная величина мощно­сти Sf₆ = S_H и базисная величина тока / _{/ 6} = x_adm i _/хх , где x_adm - ката­ложное значение сопротивления взаимоиндукции обмотки статора и об­мотки возбуждения.

Остальные базисные величины для обмотки возбуждения рассчиты­ваются, используя следующие соотношения:

U/б ⁼ S/б /I/б ⁼ V/б ^юб ’ X= Zy₆ со_б;

Z f б ^— Uб j1f б ^— Rf б ^— 5 •

Параметры режима демпферных обмоток при расчётах переходных режимов больших электрических систем обычно не контролируются в именованных единицах, поэтому выбор базисных величин для них здесь не рассматривается.

В дальнейшем изложении уравнения генераторов, а также двигателей будут приводиться в рассмотренной системе относительных единиц. Ис­ключение будут составлять время и угловая скорость. Здесь будут исполь­зоваться обозначения: t - время, с; t* =t/t₆ =tсо₀ - время, рад; со₀, со,

Дсо - угловая скорость, рад/с; со₀*, со*, Дсо* - угловая скорость, а также

скольжение s, отн. ед. (безразмерные величины).

(1.15)

¥/		iif		7	0		0
Wd	=	0	-	0	>D		0
		0		0	0		rc?_
Vd		xd	Xad		Xad		7
Vff	=	Xad	Xf		xfD		if
yD_		Xad	xfD		xD		Jd
~Vq~		4	T aq		V
У<2_		T aq	X	Q _	Jq_	?
Vo =•	x0i	0 •

d

dL

^lD

^lQ

После перехода к рассмотренной системе относительных единиц уравнения генератора будут выглядеть так:

Vd		Ud		“ 0	1	0"	Vd		r	0	0“	id
Vq	= -	U cl	-CO	-1	0	0	Vq	-	0	r	0	7
Vo_		u0_		0	0	0	Уо_		0	0	r	j 0_

d

dL

f

(1.16)

(1.17)

(1.18) (1.19)

Уравнения напряжений обмоток генератора (1.15), (1.16) выглядят так же, как и в именованных единицах (1.10), (1.11). В уравнениях потокос- цеплений вместо L,, используются х,„. Эта замена эквивалентная, так как

Leo,

’0

х„

jq Z/g COg YY g

Взаимоиндукция обмотки возбуждения и демпферной обмотки в про­дольной оси Xf_D отличается от x_ad, однако отличие невелико, и обычно

полагают Xy_D = x_ad.

Если записать, что

x_f = x_Gf + x_ad;

^XQ ^XgQ ^{+ X}aq '

^Xd = ^Xo^+Xad’

X_D =X„n + X.

<jD

+ ^Xaq

где х_ст, x_{a f}, x_aD, х_а0 - сопротивления рассеяния обмотки статора, обмот­ки возбуждения, продольной и поперечной демпферных обмоток, то урав­нения потокосцеплений (1.17), (1.18) в алгебраической форме можно пред­ставить так

У d ^{= Х}гЛ/ + ^xad W W ⁼ *d ⁺ V ⁺ Ч)>

'К/ = ^xJf + ^Xad

^{< Х}\'о = ^XcJd + ^Xad hu/’ O-²⁰)

Vg ^{— X}(J^lq + ^Xaq ^l\iq’ ^l\iq ~ ^lq ^lQ>

Vg» ^{— X}o^Q ^xaq *\iq>

Результирующие токи i _d, i^_q представляют собой составляющие

тока намагничивания / стали генератора. Величины x_ad, x_aq зависят от

тока намагничивания. В этом проявляется эффект насыщения стали гене­ратора. Обычно при расчётах устойчивости больших ЭЭС насыщение ста­ли не учитывается.

Учет насыщения стали для неявнополюсных и явнополюсных генера­торов делается по разному. В принятой системе относительных единиц у неявнополюсных генераторов все взаимные индуктивности в продольной и

поперечной осях равны x_ad. Зависимость x_ad () нелинейная (рис. 1.5), и

это осложняет определение токов из (1.17), (1.18) при известных потокос- цеплениях.

Рис. 1.5. Зависимость

Искомые токи можно определить только итеративно. После задания начального значения x_ad одна итерация будет состоять в следующем: из

17. , (1.18) определяются токи эквивалентных обмоток, по (1.20) состав­ляющие тока намагничивания i _d, /_цq , далее полный ток намагничивания

¹\\ = ^{+ и п0} зависимости x_ad (j новое значение x_ad. Итерации повторяются до достижения нужной точности определения тока / .

У явнополюсных генераторов из-за большого воздушного зазора в по­перечной оси насыщение стали не учитывается. Сопротивление x_aq опре­деляется по каталожным данным и остается постоянным. Насыщение ста­ли учитывается только по продольной оси, т.е. итеративно решается только

17. .

2. Мощность и электромагнитный момент генератора

Мгновенная мощность Р, отдаваемая трехфазным генератором в электрическую сеть, равна

	р -	Т	Г- -1
	иА		1А
Р — и _j / | и iB ' ^ —	ив		h
	1 к 0 1		Jc_

= |(^мЛ+^м^) ^{+ 3м}о^го-

Подставим в выражение мощности значения токов (1.6) и аналогич­ные значения напряжений в осях d,q:

Г- -	Т	Г- -1
ud	("■'Г"'1
Uq		h
1 й 0 1		Jo _

Р =

Разделив на 5_б = 1,5 U₆I₆, получим в относительных единицах

(1.21)

Одной из важных величин, определяющих режим генератора, являет­ся его электромагнитный момент М. Он определяется как производная от

электромагнитной энергии W, связанной с индуктивностями обмоток гене­ратора,

1. т

W = — i -I- i

2

по углу поворота ротора у

_Л/Г dW ._Tdl .

М = = г — / ,

d у d у

^СС	о 1		IТ ~\ 1
1 ТЗ о	Xj Xj 1	?

/ =

где

^гС ^lf ^lD ^lQ

Сделав замену фазных токов обмоток статора обобщенными токами и выполнив необходимые операции над матрицами, получим очень простое выражение для подсчета электромагнитного момента генератора в имено­ванных единицах:

Разделив это соотношение на М₆ = 1,5/_б\|/_б, получим выражение элек­тромагнитного момента генератора в относительных единицах:

М* — iq„.\\lq* ■ (1.22)

2. Уравнение движения ротора генератора

В процессе работы генератора к его ротору приложены два момента: вращающий момент турбины М_т и электромагнитный момент М, про­порциональный отдаваемой генератором активной мощности Р и являю­щийся моментом сопротивления для турбины (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Моменты, действующие на ротор генератора

При несоответствии этих моментов скорость ротора генератора изме­няется в соответствии со вторым законом Ньютона:

j = (1.23)

dt

Здесь J - осевой момент инерции вращающихся масс роторов генератора и турбины, кг м²; Q - скорость вращения роторов генератора и турбины в механическом движении, рад/с; М_Т,М - моменты, действующие на ро­тор генератора, в механическом движении, Н м.

При исследовании устойчивости электрических систем удобнее рас­сматривать не механическое, а так называемое электрическое движение ротора. Связь между пройденным путём, скоростью и ускорением ротора в электрическом у, со, а и механическом у, Q, а движении следующая:

_ d у d у _ б/со d Q _

у = т_Т1у; со = —- = m_n—- = m_nL 2; а = = т_п = т_иа.

dt ^п dt ^п dt ^п dt

Здесь т_п - число пар полюсов генератора.

В электрическом движении (1.23) будет выглядеть так:

J — = М_Т-М, (1.24)

dt ¹

где J = J/т^, М_т = Mjjm^ , М = М/т_п , т.е. генератор с числом пар полюсов т_п и скоростью вращения Q заменён генератором с одной па­рой полюсов и скоростью вращения со.

При расчётах устойчивости электрических систем часто рассматрива­ют не абсолютные движения роторов - по отношению к неподвижной си­стеме координат, а относительные - по отношению к единой системе ко­ординат (d_c,q_c), вращающейся со скоростью со_с (рис. 1.7). Эту систему

координат будем называть системными осями. Обычно принимается, что

® с = со о ♦ При этом ю₀ = 2л/₀ = 3 14 рад/с или ю₀= 360°/₀ = 18000 эл.град/с, где /₀ =50 Гц - номинальная частота.

Рис. 1.7. Положение ротора в относительном движении

d5 dt

Очевидно, что относительная А со и абсолютная со скорости ротора, а также его ускорение а будут равны:

А со = со-со₀ =

(1.25)

db

о = со о + Асо = со о ч ;

dt

d со d Acd d²b

a =

dt dt dt² В относительных единицах соотношения (1.25) выглядят так:

. Асо 1 d 8 db Аю* = = s = •

со ₀ dt dt*

₁ . \ db . db 1 + ₅ = 1 + = 1 + .

СО

о

СО

(1.26)

CD.

со₀ б/?

dt..

со,

1 J²5 J²5

_а с/со* d Acd_;

a* =

COq J?² б/?²

C0q dt*

Мощность и момент связаны между собой соотношением

Р = Q М = со М.

В системе относительных единиц при указанном в п. 1.1.2 выборе ба­зисных количеств

Р* = а>*М*. (1-27)

Уравнение абсолютного движения ротора (1.24) в относительных единицах с учетом обозначений (1.26), (1.27) примет вид:

d со*

Г_Л—= M_T,-Af,. (1.28)

J ²

Здесь 7>,=<d₀7>. Tj=-^~, с.

о _б

Величина Tj, имеющая размерность времени, называется постоянной инерции. Постоянная инерции численно равна времени разгона ?_разг ро­тора отключённого от сети генератора (М* = 0) от состояния покоя (ю * = 0) до номинальной скорости вращения (со* = 1) при приложении но­минального момента турбины (М_т* =1). Это следует из (1.28).

со* =1 ^разг*

J* Рj * J* d/*.

о*—0 4=0

Отсюда, учитывая, что ю * = со/со ₀, получим Tj = t_pa3T.

В справочной литературе для определения Tj обычно приводится так

2 2

называемый маховый момент GD , т • м , при этом в секундах _{Т =} 2,74 GZ)² - я² _1Q-6

^J s₆

где п - скорость ротора, об/мин; S₆ - базисная мощность, МВ-А. Умножив уравнение (1.28) на со*, можно перейти к мощностям

d ю*

T_J% ®* —— = Р_Т*~Р*. (1-29)

(Л I _г;_г

Уравнение относительного движения ротора получается из (1.28) путем соответствующей замены ускорения из (1.26), например,

d Лю,

J:

Т

2 = M_T* -M*

d t, Tj dh

ffln dt

Если скорость ротора в переходном режиме несущественно отличает­ся от со ₀- (менее ~ 4 %), то со* = со/ю₀ «1 и, учитывая (1.27), можно при­нять Д = М*. Это позволяет уравнение относительного движения ротора записать в приближенной форме:

(1.30)

Tj d^Zb

Р - Р

2 ^± х* * •

й(1 dt

Несмотря на принятое допущение, у этого уравнения имеется широ­кая область применения. Его можно использовать как для анализа статиче­ской, так и для анализа синхронной динамической устойчивости, т. к. при этом скорости роторов генераторов обычно близки к со ₀.

Таблица 1.1. Формы записи уравнения относительного движения ротора

Форма уравнения	A со, со, co0	5	1, Tj
Tj JA(0 . , ,r — — = МТ*-М* (о0 dt	рад/с	-	с
	эл. град/с	-	с
Tjd2i_	рад/с	рад	с
r\ — -Lvl j * -Lvl- * ю0 dr	эл. град/с	эл. град	с
Tj d(s) , ^ л * ——— = со0 at	рад/с	-	с
	эл. град/с		с
dco* Tj* dt — Mj* M*			рад
Tj* — MT* M* dt*			рад
(iAco * Tj—-— = dt			с

В зависимости от размерностей величин, входящих в уравнение дви­жения ротора, у него имеется много форм записи. Некоторые приведены в табл. 1.1.

1.1.5. “Точная ” модель генератора

Подводя итог изложенному выше, запишем уравнения генератора для анализа переходных электромеханических процессов, которые будем ис­пользовать далее в качестве отправной точки. Все переменные в этих уравнениях представлены в относительных единицах.

Уравнение движения ротора: d ю,

М_т-М .

dt*

Т

(1.31)

J*

Уравнения напряжений обмоток статора в осях d,q: 'd\f_d

dt* djq

(1.32)

-u_d-to.\[_q-i_dr\ = -u_q +ю* \if_d -i_qr.

Уравнения напряжений обмоток ротора в осях d,q\

d\\i _f

—— = u_f ~i_fr_f; dt*

(1.33)

d\y_D

dti,

d\\i

dt

^lD ^rD ’

£--j Г ~ ^lQ^rQ-

(1.34)

Результирующие потокосцепления обмоток статора: 'I'd' = ^xd hi + ^xad if + ^xad b 5

tyq — X_q I_q + X_aq Iq .

Результирующие потокосцепления обмоток ротора:

V/ = ^Xad ^ld+^Xf^lf+^XaJ < \|>_D ^{= x}ad ^ld ^{+ X}ad ^lf ^{+ X}D ^lD ’

(1.35)

\|/^2 — X_aq lq + Xq Iq .

Уравнения для нулевых составляющих:

\|/₀ -х₀/₀.

(1.36)

Уравнения (1.31)-(1.36) представляют собою наиболее точную мате­матическую модель генератора. В общей схеме замещения системы гене­ратор в этом случае представляется источником тока (рис. 1.8). Изменение тока источника в переходном режиме определяется указанной выше си­стемой уравнений.

Рис. 1.8. Представление генератора в схеме замещения системы

6. Модели генератора, не учитывающие электромагнитную инерцию обмоток статора

При исследовании устойчивости электрических систем уравнения Парка-Горева для генераторов, как правило, стремятся упростить, отбра­сывая те факторы, которые в определённых условиях не оказывают суще­ственного влияния на движение их роторов. Прежде всего, не учитывают электромагнитную инерцию обмоток статора генератора, пренебрегая в

d \i/ j d \|/„

уравнениях (1.32) трансформаторными ЭДС (считая — = 0, ^ = 0),

dt dt

а также ЭДС скольжения (полагая ю = со ₀* = 1). Не учитывают также ак­тивные сопротивления обмоток статора генератора, которые довольно ма­

лы. При таких допущениях уравнения напряжений обмоток статора гене­ратора примут вид:

Ч⁼ Vd>'

^Ud=-Vq>

и в целом описание переходных электромеханических процессов в генера­торе будет выглядеть в виде системы уравнений (1.37) - (1.39):

, d(£>_s

M_T — M;

^uf~^rf^lf

(1.37)

^rD ^lD’

¹j* d v|/_/

	1 1
	1 1

(1.38)

(1.39)

djQ

= -r_Qi_Q\

ич		xd	X ad	X ad
Xff	—	Х ad	Xf	Xad
Vd_		_Xad	Xad	X D

~ud		1 X X a i		V
		i X a i		Jo_

(1.40)

(1.41)

Решим (1.38) и (1.39) относительно токов:

id		SX* 1 1 0 a b		Uq
if	—	1 O 1 ’.Г b		Vff
Jd _		Q О 1 Q Q О 1 1		yD_

V		" \	b aq		~ud
Jq_		~Ьад	\ _		Vo

Подставляя выражения токов i_f,i_D,i_Q в систему уравнений (1.37), получим

_T da*

-L T

dt*

ay,

dt*

M_T — M;

1

qe

ad

(1.42)

dt*

dx\i_Q

( bfD^Vf D ^aD ^uq ) ^D’

_dt ={-^bQVo^+baoU_d)r_Q-

Расчётную величину

X

(1.43)

^Jqe

- Uj - X_ad I j_e

7

ad

называют вынужденной составляющей ЭДС возбуждения E_q.

Величины

^X"d=^ll^bd> ^X"q=y^bq получили название сверхпереходных сопротивлений в продольной и попе­речной осях. Они не равны друг другу даже для турбогенераторов, но сами величины и их различия достаточно малы. Стремясь к симметричной мо­дели генератора, полагают, что сверхпереходные сопротивления в про­дольной и поперечной осях одинаковы и равны

x"_d + х"

гг _ a q

Это ещё одно допущение, влияющее на точность определения элек­тромагнитных параметров генератора в переходном режиме.

Первые равенства (1.40), (1.41) теперь можно записать в комплекс­ной форме, имеющей вид закона Ома:

(^Eq + J^E"d ) = (Ч/ + J^Ud ) + j^X”(}q ⁺ j*d)>

где

(1.44)

^E'q = ^x"^baf^f+^X"^baD^D’'

q^Q-

E"d = ~^X"^bc

Величина Ё" = E"_q + jE"_d получила название сверхпереходной ЭДС. Электромагнитный момент генератора можно определить так

(1.45)

СО * СО * X

{E'_dt,,-E"_qu_d\

Таким образом, при принятых допущениях (не учёте трансформатор­ных ЭДС и ЭДС скольжения, активных сопротивлений обмоток статора и неравенства сверхпереходных сопротивлений в продольной и в попереч­ной осях) генератор в общей схеме замещения системы должен быть пред-

ставлен ветвью с сопротивлением jx" и приложенной за ним ЭДС Е"

(рис. 1.9). При этом переходные электромеханические процессы в генера-

торе, определяющие изменение Ё", описываются системой уравнений

42. с учетом (1.44), (1.45).

Рис. 1.9. Замещение генератора ЭДС Е"

6. Модели генератора, не учитывающие электромаг­нитную инерцию обмоток статора и демпферные

обмотки

(1.46)

Дальнейшее упрощение уравнений синхронного генератора связано с не учётом демпферных обмоток в продольной и в поперечной осях ротора. Из уравнений (1.37) - (1.39) при этом получим:

d\\i_f

^uq ^Xd hi ^xad\f » ^ud ~ ~^xq^lq ’

'I'/ = ^xad '^ld + V/ '

Уравнение, описывающее переходные процессы в обмотке возбужде­ния (второе уравнение в (1.46)), можно представить так:

Введены величины

(1.47)

которые получили следующие названия:

E_q - ЭДС холостого хода или ЭДС возбуждения (пропорциональна

полному току обмотки возбуждения);

E'_q - переходная ЭДС по оси q (пропорциональна результирующе­му потокосцеплению обмотки возбуждения по оси q);

T_d0 - постоянная времени обмотки возбуждения.

С учётом введенных обозначений (1.47), а также (1.43) систему урав­нений (1.46) записывают так:

(1.48)

Eq — Eg ~ (^xd ~ ^xd ) ’ ^Uq ~ Eq + %d *d ’

^Ud ~ ~^Xq ^lq ’

где x'_d=x_d-^- ^xf

Для неявнополюсных генераторов x_q ~ x_d, поэтому из 4-го и 5-го

уравнений системы (1.48) вытекает схема замещения неявнополюсного ге­нератора, приведённая на рис. 1.10.

Xd I и

-ГПГ\

Рис. 1.10. Замещение неявнополюсного генератора ЭДС Е

Изменение E_q в переходном режиме при принятых допущениях опи­сывается уравнениями:

Т_г^± = М_т-М;

dt

dE'

(1.49)

Т⁷ Ч — Z7 Z7 .

^dQ dt ~ ^{qe q} ’

^E_q = ^E'_q-(^xd-^x'd)ⁱd’ M = E_qi_q/(о*.

У явнополюсных генераторов x_d Ф x_q. Для них вводится фиктивная ЭДС Eq за сопротивлением x_q (рис. 1.11).

Eg Р X I U

-ППП

Q

Рис. 1.11. Замещение явнополюсного генератора ЭДС Е_{

(1.50)

Система уравнений (1.49) в связи с этим преобразуется к виду:

dt

Т,

dQ '

^Eqe~^Ecr

dt

E_q=E'_q-(x_d-x^,_d)i_d\ ^E_Q = Eq-(^xq-x_d)i_d: M = Р/a*.

dE'

Нужно отметить, что система уравнений (1.50) является более общей, так как при x_d = x_q из неё получается (1.49).

Следует отметить также, что схемы замещения, приведённые на рис. 1.10, 1.11, для установившихся режимов являются точными.

Величина ЭДС E'_q, пропорциональная, как следует из (1.47), резуль­тирующему потокосцеплению обмотки возбуждения, в переходном режи­ме изменяется мало. В определенных условиях можно принять, что в тече­ние всего переходного режима величина E'_q остаётся постоянной и равной

своему значению E'_q{) до момента нарушения режима. При этом из систе­мы уравнений (1.50) следует:

(1.51)

lL<to ₌ p_p. dt^{2 Т} ’

^EQ=^E'q0-(^X_q-^X'd)ⁱd-

Для неявнополюсного генератора в (1.51) вместо x_q следует взять x_d (при этом Eq будет равна E_q).

Модели генератора (1.46), (1.48)-(1.51) неудобны для расчётов пере­ходных режимов сложных электрических системах. Мешает наличие тока i_d. Это является следствием одноосной обмотки возбуждения. Стремясь к симметричной модели генератора, вводят расчётную ЭДС Е' (рис. 1.12), как некоторый потенциал за сопротивлением x'_d, величину которой в те­чение переходного режима считают постоянной.

I j

Рис. 1.12. Замещение генератора ЭДС Е'

Переходные процессы в генераторе приближенно учитывают так:

со 0 dt^{1 Т} Е' = Е'₀= const.

(1.52)

Уравнения (1.52) применяются для моделирования генераторов, уда­лённых от места возмущения, у которых изменения электромагнитных па­раметров в переходном режиме достаточно малы.

Если изменением скорости вращения ротора генератора в переходном режиме электрической системы также можно пренебречь, то генератор может быть представлен схемой замещения, приведённой на рис. 1.12, с постоянной по величине и фазе ЭДС Е' = EqZ8'₀ .