Розділ V рівності і нерівності, рівняння. Функції § 12. Математичні вирази. Рівності і нерівності

План

1. Алфавіт математичної мови.

2. Числові вирази. Значення числового виразу.

3. Вирази зі змінною.

4. Тотожні перетворення виразів.

5. Числові рівності, властивості істинних числових рівностей.

6. Числові нерівності, властивості істинних числових нерівностей.

1. Алфавіт математичної мови

Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становлять її алфавіт. Алфавіт математичної мови, мови штучної, яка виникла у зв’язку з необхідністю точних, стислих формулювань математичних законів, правил, доведень, які повинні бути зрозумілі однозначно, включає математичні знаки (символи), які можна поділити на 5 класів:

1. знаки об’єктів:

   • цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (знаки нумерації для запису чисел у десятковій системі числення); I, V, X, L, X.D, M (знаки римської нумерації);

   • букви латинського алфавіту: А, В, С, …, X, Y, Z; a, b, c, d, …, x, y, z (для позначення змінних, множин, елементів множин, висловлень, геометричних фігур, тощо);

2. знаки операцій:

   • знаки арифметичних дій: +, -, ×, : ;

   • знаки піднесення до степеня і добування кореня:

   • знаки перерізу і об’єднання множин: та інші;

3. знаки відношень: <, =, >; ≤; ≥; ; ~ та інші;

4. знаки відображень:

   • - позначення функції;

   • - симетрія відносно прямої, відносно центра;

5. допоміжні знаки:

   • дужки: { }, [ ], ( );

   • кома: « , »; крапка з комою: « ; ».

Є ще багато інших математичних символів. Історично символіка математики створювалась віками завдяки працям видатних вчених. Наприклад: Діофант (ІІІ ст.) ввів позначення змінних величин буквами; прописні букви латинського алфавіту ввів для позначень Р. Декарт (XVII ст.). Знак «дорівнює» (=) вперше ввів Р. Рекорд (XVI ст.), знаки «<», «>» - знаки нерівності, ввів англійський математик Гаріот, хоч самі поняття рівності і нерівності існували з далекої давнини.

2. Числові вирази. Значення числового виразу

Означення. Записи, які конструюються з чисел, знаків дій і дужок, називаються числовими виразами.

Кожне дійсне число є числовим виразом. Такі вирази називають елементарними. Якщо А і В є числові вирази, то А + В, А – В, А ·В, А :В також є числовими виразами.

Наприклад: записи 4 + 6, 45 : 5, 72 – 34, 25 · 4 є числові вирази, які називаються відповідно сума, частка, різниця, добуток.

Якщо в числовому виразі виконати всі зазначені дії, то дістанемо число, яке називається значенням числового виразу.

Так, значення числового виразу 32 + 18 : 3 дорівнює 38.

Не будь-який числовий вираз має значення. Наприклад: вираз не має числового значення, бо ділення на нуль неможливе. Про такі вирази говорять, що вони не мають смислу.

З числовими виразами учні ознайомлюються ще у 1 класі. У 2 класі ці знання систематизуються при вивчені теми «Числові вирази». Учні вчаться читати, записувати, порівнювати вирази, обчислювати їх значення, записувати розв’язання задачі виразом.

Наприклад: називання (читання) і запис деяких виразів подано в таблиці:

Сума двадцяти і п’яти	20 + 5
Різниця чисел 18 і 9	18 – 9
Добуток трьох чисел, кожне з яких 6	6 · 6 · 6
Частка від ділення суми чисел 24 і 12 на 4	(24 + 12) : 4
Сума числа 16 з часткою чисел 8 і 2	16 + 8 : 2
Зменшуване виражене сумою чисел 39 і 17, від’ємник 16.	(39 + 17) – 16
Сума добутків чисел 15 і 2 та чисел 20 і 2	15 · 2 + 20 · 2