3. Множення і ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення багатоцифрових чисел

Теоретичне обґрунтування алгоритму множення в десятковій системі числення має багато спільного з теоретичним обґрунтуванням алгоритму додавання, тому що використовується десятковий склад числа і основні закони даної арифметичної дії.

Для виконання множення одноцифрових чисел складають таблицю множення (як суми однакових доданків) і запам’ятовують її. Множення багатоцифрових чисел на одноцифрове зводиться до використання таблиці множення, розподільного закону множення відносно додавання і правил додавання чисел. Наприклад,

453 · 4 = ( 4· 10² + 5 · 10 + 3) · 4 = (4 · 10²) · 4 + (5 · 10) · 4 + 3 · 4.

Користуючись переставним і сполучним законами множення, дістаємо:

(4 · 4) · 10² + (5 · 4) · 10 + (3 · 4) = 16 · 10² + 20 · 10 + 12 = 1812.

Як бачимо, множення багатоцифрового числа на одноцифрове зводиться до множення одноцифрових чисел і додавання, взагалі кажучи, багатоцифрових чисел. Множення числа на степінь 10^k зводиться до приписування до множеного k нулів. Множення числа на багатоцифрове число зводиться до використання правила множення на одноцифрове число і степені числа 10. Для цього множник подають у вигляді суми степенів числа 10 з коефіцієнтами, що є цифрами числа. Наприклад,

453 · 132 = 453 · (1 · 10² + 3 · 10 + 2) = (453 · 1) · 10² + (453 · 3) · 10 + (453 · 2).

Результат множення можна дістати, якщо подати множення у такій формі:

453

^× 132

906

+1359

453___

59796

Алгоритм множення числа х = a_n a_n-1 … a₁ a₀ на число у = b_m b_m-1 …b₁b₀ такий:

1. Записати множник у під множником х .

2. Помножити число х на число одиниць b₀ числа у і записати добуток х·b₀ під відповідними розрядами числа у.

3. Помножити число х на число десятків числа у і записати добуток х · b₁, зміщуючи запис на один розряд вліво.

4. Цей процес множення продовжити до обчислення х · b_m.

5. Знайдені добутки додати.

Ділення чисел – операція, обернена до операції множення. Вона полягає у знаходженні за відомим добутком двох множників і одним із множників другого (невідомого) множника. Тому при діленні одноцифрових і двоцифрових чисел на одноцифрове використовується таблиця множення одноцифрових чисел. При цьому можуть бути такі випадки:

1. за таблицею множення знаходять повну частку , як, наприклад, при діленні числа 63 на 9;

2. за таблицею множення знаходять неповну частку і обчислюють остачу, як у випадку ділення числа 65 на 9: 65 = 9 · 7 + 2, або 65 : 9 = 7 (ост. 2).

Отже, взагалі процес ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число в є дія ділення з остачею, яка полягає у знаходженні таких цілих невід’ємних чисел q і r , що а = bq + r, де 0 ≤ r < b. Оскільки

bq ≤ a < b (q + 1), то процес ділення числа а на число в полягає спочатку у знаходженні такого цілого числа q, яке б задовольняло цю рівність. Тоді остача r = а – b q. Наприклад, для виконання ділення 637 на 25 треба знайти такі цілі невід’ємні числа q і r, щоб 637 = 25 ∙ q + r. Подвійна нерівність

25q ≤ 637 < 25(q+1) дає змогу встановити число цифр у неповній частці q. Справді, оскільки 25 ∙ 10 < 637 < 25 · 100, то частка q – двоцифрове число. Для знаходження цифри її десятків помножимо послідовно дільник 25 на 10, 20, ... Оскільки 25 ∙ 20 < 637 <25 ∙ 30, то цифра десятків неповної частки дорівнює 2, а сама частка 20 < q < 30, тобто q = 20 + q₁, де q₁ – число одиниць. Через те що 25 ∙ (20 + q₁) ≤ 637 < 25 ∙ (20 + q₁ +1), маємо

500 + 25q₁ ≤ 637 < 500 + 25(q₁ +1), або 25q₁ ≤ 137 < 25(q₁ +1).

Число q₁ – одноцифрове. Його можна знайти, послідовно помножаючи 25 на 1, 2, 3, ... Дістанемо: 25 · 5 = 125, а 25 ∙ 6 = 150. Тому число одиниць частки дорівнює 5. Отже, неповна частка q = 25, a остача r = 637 – 635 = 12 і

637 = 25 · 25 + 12. Викладені міркування лежать в основі ділення «кутом»:

_ 637 25

50 25

_ 137

125

12

Загальний алгоритм ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b такий:

1. Якщо а = b, то частка q = 1, остача r = 0.

2. Якщо а > b і число розрядів у чисел а і b однакове, то, помножаючи b послідовно на числа 1, 2, ... ,9, знаходять частку q від ділення числа а на число b і остачу r = а – bq.

3. Якщо а > b і число розрядів у числі а більше, ніж у числі b, то частку і остачу шукають так.

У числі а зліва відокремлюють стільки розрядів, скільки їх має число b чи на один розряд більше, а число с₁, ними утворене, дорівнювало б чи було б більше від числа b; далі підбирають серед чисел 1, 2, ... , 9 такий множник q₁, що bq₁ ≤ c₁, число bq₁ підписують під числом c₁ і віднімають.

Дістають r₁ = с₁ – bq₁. Це число записують під числом bq₁; потім справа до r₁ приписують цифри першого з невикористаних розрядів діленого а і порівнюють здобуте число з числом b; якщо воно не менше b, то повторюють вище розглянутий процес, якщо ж воно менше b, то приписують до нього ще стільки розрядів, щоб воно було не менше числа b, і знову застосовують розглянутий вище процес.