8. Відповідність, обернена даній

Нехай дано множини: А={1,3,5,7}, В={2,6}. R – відповідність «більше» між елементами даних множин.

Тоді R = {(3;2), (5;2), (7;2), (7;6)}

Побудуємо граф відповідності R.

Замінимо стрілки графа на обернені. Одержимо граф відповідності – «менше». = {(2;3), (2;5), (2;7), (6;7)}.

Означення. Нехай R – відповідність між елементами множин А і В. Відповідність між елементами множин В і А називається оберненою даній, якщо у х тоді і тільки тоді, коли хRу.

Відповідності R і називаються взаємно оберненими.

Побудуємо графіки даних відповідностей в одній системі координат.

Графіки прямої і оберненої відповідностей симетричні відносно бісектриси І та III координатних кутів.

У початковому навчанні математиці оберненим відповідностям приділяється значна увага. Учні повинні чітко усвідомити, що, якщо 5>3, то 3<5; якщо відрізок АВ коротший, ніж відрізок СD, то відрізок СD довший, ніж відрізок АВ. Особлива роль знання взаємозв’язків під час розв’язування текстових задач з відношеннями, заданими в непрямій формі.

9. Взаємно однозначні відповідності

Означення. Взаємно однозначними відповідностями називаються відповідності, якщо кожному елементу множини Х відповідає єдиний елемент множини Y, і кожний елемент множини Y відповідає єдиному елементу множини Х.

У початковій школі поняття взаємно однозначної відповідності використовується неявно: на даному понятті будується лічба предметів та їх порівняння.

Наприклад. Як пояснити дітям, що 4 = 4 ?

Для пояснення беруть чотири червоних квадрата та чотири зелених трикутника і кожному червоному квадрату ставлять у відповідність зелений трикутник, тобто встановлюють взаємно однозначну відповідність між множинами червоних квадратів та зелених трикутників. Так як кожному червоному квадрату можна поставити у відповідність зелений трикутник і навпаки, то говорять, що 4=4.

Як пояснити дітям, що 3<4 ?

Для цього беруть також три червоних квадрата (множина А) і чотири зелених трикутника (множина В) і встановлюють взаємно однозначну відповідність між множиною, в якій 3 елемента і трьохелементною підмножиною множини, що містить 4 елемента.

В першому прикладі кожному елементу множини А (множини червоних квадратів) відповідає єдиний елемент множини В (множини зелених трикутників) і кожний елемент множини В (множини зелених трикутників) відповідає єдиному елементу множини А (множини червоних квадратів), тоді дана відповідність взаємно однозначна.

В другому прикладі кожному елементу множини А (множини червоних квадратів) відповідає єдиний елемент множини В (множини зелених трикутників), але не всім елементам множини В (множини зелених трикутників) відповідає єдиний елемент множини А (множини червоних квадратів), тоді дана відповідність не взаємно однозначна.

Якщо відповідності взаємно однозначні, то кількості елементів відповідних множин рівні.

10. Рівнопотужні множини

В теорії множин існує поняття рівнопотужних множин. Уточнимо дане поняття.

Означення. Множини Х і Y називаються рівнопотужними, якщо вони або порожні, або між ними встановлено взаємно однозначну відповідність.

Позначається рівнопотужність множин:

Якщо множина Х рівнопотужна множині Y, то записують так:

Рівнопотужність множин має свої характерні властивості:

1) Рефлективність: Будь яка множина рівнопотужна сама собі.

2) Симетричність:

3) Транзитивність:

Так як відношення рівнопотужності має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності, то воно є відношенням еквівалентності.

Рівнопотужні множини можуть бути як скінченними так і нескінченними. Якщо множини скінченні і рівнопотужні, то вони мають однакову кількість елементів. Якщо множини Х та Y скінченні і множина Х рівнопотужна множині Y, то .

Якщо множини нескінченні і рівнопотужні, то частина множини може бути рівнопотужною всій множині.

Наприклад. 1) Множина А = {1,2,3,4}, множина букв у слові «урок», множина, що містить чотири геометричні фігури – все це рівнопотужні множини. Вони містять однакову кількість елементів.

2) Множина натуральних чисел і її підмножина – множина непарних натуральних чисел. Поставимо у відповідність кожному натуральному числу n непарне число 2n – 1. Ця відповідність взаємно однозначна: кожному натуральному числу відповідає єдине непарне число і кожне непарне число відповідає єдиному натуральному числу. Отже, , тобто множина натуральних чисел і множина непарних натуральних чисел, яка є підмножиною множини натуральних чисел, рівнопотужні.

Довгий час вважали, що всі нескінченні множини рівнопотужні між собою. В 70-80-х роках XIX ст. видатний німецький математик Г.Кантор (1845-1918) встановив, що серед нескінченних множин є безліч нерівнопотужних між собою множин і що всі нескінченні множини також можна розбити на класи рівнопотужних множин.

Найменша нескінченна потужність – це потужність множини натуральних чисел.

Будь-яка множина називається зчисленною, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел.

Наприклад: множина усіх квадратів натуральних чисел називається зчисленною, бо вона рівнопотужна множині натуральних чисел. Множина усіх натуральних чисел, кратних k, множина цілих чисел, множина раціональних чисел також зчисленні. Між ними і множиною натуральних чисел можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Г.Кантор довів, що множина дійсних чисел на відрізку не рівнопотужна множині натуральних чисел N і має більшу потужність, ніж потужність множини N.

Користуючись поняттям рівнопотужності множин, можна уточнити поняття скінченної і нескінченної множин.

Означення. Множина А називається скінченною, якщо в ній жодним способом не можна виділити правильної частини В, рівнопотужної всій множині А. Якщо в А можна виділити рівнопотужну їй правильну частину В, то тоді А називається нескінченною множиною.

Це означення розкриває найхарактернішу відмінність між скінченними й нескінченними множинами. Не слід ототожнювати нескінченну множину і скінченну множину, яка містить дуже багато елементів.