Однофакторный дисперсионный анализ для несвязанных выборок.
Назначение метода.
Метод однофакторного дисперсионного анализа применяется в тех случаях, когда исследуются изменения результативного признака (зависимой переменной) под влиянием изменяющихся условий или градаций какого-либо фактора.
Влиянию каждой из градаций фактора подвержены разные выборки.
Должно быть не менее трех градаций фактора и не менее двух наблюдений в каждой градации.
Описание метода.
Расчеты начинаются с расстановки всех данных по столбцам, относящимся к каждому из факторов соответственно.
Следующим действием будет нахождение сумм значений по столбцам (то есть – градациям) и возведение их в квадрат.
Фактически метод состоит в сопоставлении каждой из полученных и возведенных в квадрат сумм с суммой квадратов всех значений, полученных во всем эксперименте.
Графическое представление метода.
На рисунке схематически представлены три градации какого-либо фактора. Дисперсионный анализ позволяет определить, что преобладает: влияние фактора или случайная вариативность внутри групп (тенденция, выраженная кривой или размах отрезков, ограниченных кружками)?
Алгоритм расчета.
Промежуточные величины.
Tc |
суммы индивидуальных значений по каждому из условий |
Σ(T2c) |
сумма квадратов суммарных значений по каждому из условий |
с |
количество условий (градаций фактора) |
n |
количество значений в каждом комплексе (испытуемых в каждой группе) |
N |
общее количество индивидуальных значений |
|
квадрат общей суммы индивидуальных значений |
Σ(xi)2 / N |
константа, необходимая для вычитания из каждой суммы квадратов |
xi |
каждое индивидуальное значение |
Σ(xi)2 |
сумма квадратов индивидуальных значений |
(Σxi)2Принятые в литературе сокращения:
СК или SS – сумма квадратов
SSфакт. – вариативность, обусловленная действием исследуемого фактора
SSобщ. – общая вариативность
SSсл. – случайная вариативность
MS – «средний квадрат» (математическое ожидание суммы квадратов, усредненная величина соответствующих SS)
df – число степеней свободы.
Основные вычисления.
Подсчитать SSфакт. |
SSфакт. = 1/n ΣT2c – 1/n (Σxi)2 |
Подсчитать SSобщ. |
SSобщ. = Σx2i – 1/N (Σxi)2 |
Подсчитать случайную остаточную величину SSсл. |
SSсл. = SSобщ. – SSфакт. |
Определить число степеней свободы |
dfфакт. = с – 1 dfобщ. = N – 1 dfсл. = dfобщ. – dfфакт. |
Разделить каждую SS на соответствующее число степеней свободы |
MSфакт. = SSфакт. / dfфакт. MS сл. = SS сл. / df сл. |
Подсчитать значение Fэмп. |
Fэмп. = MSфакт. / MS сл. |
Определить по таблицам критические значения F и сопоставить с ним полученное эмпирическое значение |
При Fэмп. >= Fкр. H0 отклоняется. |
Однофакторный дисперсионный анализ для связанных выборок.
Назначение метода.
Метод применяется в тех случаях, когда исследуется влияние разных условий действия фактора (градаций фактора) на одну и ту же выборку. (Одни и те же респонденты в разных условиях.)
Условий (градаций) должно быть не менее трех.
Индивидуальных значений по каждому условию должно быть не менее двух.
Описание метода.
В этом случае различия могут быть вызваны не только влиянием фактора, но и индивидуальными различиями между испытуемыми. При анализе несвязанных выборок это обстоятельство не оказывало воздействия за счет того, что выборки были различны, и сводилось к случайным причинам различий, - здесь же индивидуальные различия между элементами выборки (респондентами) необходимо особо учитывать. (Индивидуальные различия могут оказаться более значимыми, чем изменение условий действия фактора.) Исходя из сказанного, в расчеты вводятся дополнительные компоненты – суммы квадратов сумм индивидуальных значений.
Графическое представление.
Рисунок иллюстрирует пример решения анаграмм различной длины одними и теми же респондентами. Исследователей интересовало влияние длины анаграммы на время ее решения. (Выяснилось, что наибольшие трудности, что видно из диапазона времени, затраченного на решение, и его среднего значения, вызвала анаграмма из пяти букв.)
Расчет промежуточных величин.
Tc |
Суммы индивидуальных значений по каждому из условий |
ΣT2c |
Сумма квадратов суммарных значений по каждому из условий |
с |
Количество значений у каждого респондента, то есть – количество условий |
n |
Количество респондентов |
N |
общее количество значений |
Tn |
Суммы индивидуальных значений по каждому респонденту |
ΣT2n |
Сумма квадратов сумм индивидуальных значений по респондентам |
xi |
каждое индивидуальное значение |
|
квадрат общей суммы индивидуальных значений |
1/N(Σxi)2 |
константа, необходимая для вычитания из каждой суммы квадратов |
Σ(xi)2 |
сумма квадратов индивидуальных значений |
(Σxi)2
Основные вычисления.
Подсчитать SSфакт. |
SSфакт. = 1/n ΣT2c – 1/n (Σxi)2 |
Подсчитать SSресп. |
SSресп. =1/c ΣT2n – 1/N (Σxi)2 |
Подсчитать SSобщ. |
SSобщ. = Σx2i – 1/N (Σxi)2 |
Подсчитать случайную остаточную величину SSсл. |
SSсл. = SSобщ. – SSфакт. – SSресп. |
Определить число степеней свободы |
dfфакт. = с – 1 dfресп. = n – 1 dfобщ. = N – 1 dfсл. = dfобщ. – dfфакт. – dfресп. |
Разделить каждую SS на соответствующее число степеней свободы |
MSфакт. = SSфакт. / dfфакт. MS респ. = SS респ. / df респ. MS сл. = SS сл. / df сл. |
Подсчитать значения F |
Fфакт.= MSфакт. / MS сл. Fресп.= MSресп. / MS сл. |
Определить по таблицам критические значения F и сопоставить с ними полученные эмпирические значения |
При Fэмп. >= Fкр. H0 отклоняется. |