• 45. Материялық нүкте мен механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы.

16.24 Материялық нүкте және механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы

Материялық нүктенің кинетикалық энергиясы осы нүкте жылдамдығының квадраты мен массасының көбейтіндісінің жартысына тең, яғни:

 (16.115)

Жүйені құраушы материялық нүктелер кинетикалық энергияларының арифметикалық қосындысына жүйенің кинетикалық энергиясы делінеді

 (16.116)

Кинетикалық энергияның СИ - дегі өлшем бірлігі   немесе Hм.

Нүкте және жүйенің кинетикалық энергиясы скаляр шама, ол жылдамдық бағытына байланысты емес. Жүйе тыныштық күйде тұрғанда оның кинетикалық энергиясы нөлге тең болады.

 

16.25 Кёниг теоремасы

М еханикалық жүйе қозғалмайтын Охуz кординаттар жүйесіне қатысты қозғалыста болып, жүйенің тасымалды қозғалысы ілгерілемелі қозғалыс болсын (16.27-сурет) .

Бұл жағдайда жүйенің абсолют қозғалысын инерция центрі S пен бірге оның ілгерілемелі қозғалысы мен   координаттар жүйесіне қатысты айналмалы қозғалысынан құралған деп қарастыру мүмкін.

Жылдамдықтарды қосу теоремасына сәйкес; 16.27-сурет

 (16.117)

бұнда:   - нүктенің салыстырмалы жылдамдығы (16.117)-ні (16.116)-ға қоямыз:

немесе

 

.

Бұл теңдікте   жүйе массасы, ал   жүйенің инерция центріне қатысты салыстырмалы қозғалыстың кинетикалық энергиясын өрнектейді.

Қозғалатын координаттар жүйесінің басы инерция центрінде орналасқандығы себепті.

 ал   болады.

Нәтижеде:

 (16.118)

(16.118) теңдік Кёниг теоремасын өрнектейді: күрделі қозғалыстағы жүйенің кинетикалық энергиясы массасы инерция центріне орналасқан деп алынатын жүйенің кинетикалық энергиясы мен жүйенің инерция центріне қатысты жасаған салыстырмалы қозғалысының кинетикалық энергиясының қосындысына тең.

• 48. Материялық нүкте мен механикалық жүйенің кинетикалық энергияның өзгеруі туралы теоремалар.

16.27 Жүйе кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Механикалық жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теореманы келтіріп шығару үшін жүйенің әрбір   нүктесі үшін жазылған динамикалық негізгі теңдеуін (16.12)-ні   өске проекциялаймыз:

 (16.123)

Жанама үдеу  - ны төмендегідей өрнектеуге болады:

 (16.124)

(16.124)-ті (16.123)-ке қойсақ,

немесе

 (16.125)

табылады.

(16.125) жүйені мүшелеп қосамыз, онда

 (16.126)

(16.126) теңдіктегі

сәйкес түрде, жүйеге қойылған сыртқы және ішкі күштердің элементар жұмыстарының қосындысын өрнектейді.

Нәтижеде

 (16.127)

(16.127)-ден көретініміз, жүйе кинетикалық энергиясының дифференциалы оған әсер ететін барлық ішкі жене сыртқы күштердің элементар жұмыстарының қосындысына тең. (16.127)-ні қандай да бір шектелген аралықта интегралдасақ, жүйе кинетикалық энергиясының осы аралықта өзгеруі туралы теорема келіп шығады:

 (16.128)

Демек, жүйе кинетикалық энергиясының қандайда бір шектелген аралықта өзгеруі оған әсәр ететін барлық ішкі және сыртқы күштердің осы аралықтағы жұмыстарының қосындысына тең.

Өзгермейтін механикалық жүйенің және қатты дененің ішкі күштерінің жұмыстарының қосындысы нөлге тең болып, (16.127) және (16.128)-дер сәйкес төмендегідей жазылады:

 (16.129)

(16.129) теңдіктің екі жағын  ға бөліп,

 (16.130)

табамыз.Демек, жүйе кинетикалық энергиясының уақыт бойынша бірінші туындысы осы жүйеге әсер ететін барлық күштердің қуаттарының қосындысына тең.