• 35. Материялық жүйенің дифференциалдық теңдеулері.

16.5 Механикалық жүйе қозғалысының дифференциал теңдеулері

 

Механикалық жүйе   нүктелерден құралған болып, жүйе нүктелеріне сыртқы және ішкі күштер әсер етеді. Бұл жүйенің әрбір   нүктесі ушін динамиканың негізгі теңдеуі төмендетідей жазылады:

 (16.17)

 нүктенің радиус-векторын  ,жылдамдығын   десек, оның үдеуі   болады. Сондықтан (16.17) төмендегідей жазылады:

,

немесе  .

-ге 1 ден  -ге дейінгі болған тізбектік мәндерді қойып механикалық жүйенің дифференциал теңдеулерінің вектролық тәсілде өрнектелуін табамыз.

немесе

   (16.18)

 

(16.18)-ді Декарт координата өстеріне проекцияласақ, механикалық жүйе қозғалысының дифференциалдық теңдеулерінің координаттық тәсілдегі өрнектері табылады. Бұл диффренциал теңдеулердің саны 3   болады.

Сонымен, жүйеге әсер ететін күштер берілген болса, жүйені құрайтын материялық нүктелердің қозғалысын анықтау үшін вектролық тәсілмен 3  екінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешіп, онда пайда болатын интеграл тұрақтыларын анықтау керек. Жүйені құрайтын нүктелер саны қаншалықты көп болса, соншалықты дифференциалдық теңдеулерден пайдалану күрделенеді.

Осыған байланысты, механикалық жүйе динамикасының негізгі мәселелерін шешуде (16.18) түріндегі дифференциалдық теңдеулерден пайдалануға қарағанда, (16.18)-ге түрлі түрлендірулер өткізе отырып динамиканың негізгі теоремаларын және принциптерін қолдану жөн болар.

• 36. Материялық нүкте мен материялық жүйенің қозғалыс мөлшерінің. Күштің импульсы.

16.10 Материялық нүкте және механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері

Материялық нүкте массасы мен жылдамдық векторының көбейтіндісіне материялық нүктенің қозғалыс мөлшері делінеді:

 (16.33)

Бұл теңдеуден көрінетіні, материялық нүктенің қозғалыс мөлшері векторлық шама болып, ол жылдамдық векторы бойымен бағытталған. Қозғалыс мөлшерінің өлшем бірлігі СИ де кг м/с -тен тұрады.

Механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері деп жүйені құрайтын нүктелердің қозғалыс мөлшерлерінің геометриялық қосындысына айтады (16.8 - сурет), яғни

 

. (16.34)

(16.33)-де   болғандықтан

 (16.35)

 

(16.7)-ке сәйкес  .

 

16.8 сурет

Нәтижеде (16.35)-ті төмендегі түрде жазу мүмкін:

немесе

 (16.36)

Демек, механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері жүйе массасы мен инерция центрі жылдамдығы векторының көбейтіндісіне тең.

16.9 Күш импульсі

М материялық нүкте   күштің әсерінде болсын. Күштің элементар уақыт аралығындағы элементар импульсі деп күш векторы мен осы уақыттың көбейтіндісіне айтылады және ол төмендегідей жазылады:

 (16.28)

Күштің кезкелген   уақыт аралығындағы импульсін анықтау үшін (16.28)-ді осы уақыт аралығында интегралдаймыз:

 (16.29)

(16.29)-ды Декарт координата өстеріне проекцияласақ, күш импульсі векторының координата өстеріндегі проекциялары келіп шығады:

. (16.30)

Егер  ,  ,   белгілі болса , күш толық импульсінің модулі

 (16.31)

формуладан, ал бағыты бағыттаушы косинустардан

 (16.32)

анықталады.

Күш импульсінің бірлігі СИ де Нс (кгм/с) .

Күш импульсі материялық нүктеге сырттан әсер ететін денелердің бірер-бір уақыт аралығында нүктеге беретін механикалық қозғалысын сипаттайды.